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七年级数学:有理数与无理数

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在七年级数学中,我们学习了有理数和无理数。有理数是可以用两个整数的比表示的数,包括正整数、负整数、0和分数。无理数则是不能被有理数表示为有限小数或分数的数。

我们来了解有理数。有理数是数轴上的所有点,包括整数和分数。整数是没有小数部分的数,可以是正数、负数或零。整数可以用来表示计数、位置等概念。如果一个银行账户上有300元,我们可以用整数+300来表示。分数是可表示为一个整数除以一个非零整数的形式。我们可以用分数2/3来表示两个苹果中的2个。有理数是很常见的数,我们在日常生活中经常会遇到。

我们来了解无理数。无理数是不能被有理数表示为有限小数或分数的数。无理数是无限不循环的小数。π就是一个无理数,它表示圆的周长与直径的比值。没有一个有限的小数或分数可以完全精确地表示π。另一个例子是根号2,它也是一个无理数。根号2不能表示为两个整数的比。无理数的存在打破了我们对数的理解,使得数学变得更加丰富和深奥。

在初一数学中,我们继续深入研究有理数和无理数的性质和运算。我们学习了有理数和无理数的加法、减法、乘法和除法,以及它们之间的大小关系。我们也学习了如何将一个无理数近似到一个有理数。这些知识为我们进一步学习数学和解决实际问题打下了坚实的基础。

七年级的数学课程帮助我们理解了有理数和无理数的概念和性质。有理数是我们日常生活中常见的数,而无理数则是一种特殊的数,不能被有限小数或分数表示。我们在初一数学中继续学习并运用有理数和无理数的运算,为我们的数学知识和解决问题的能力提供了更加坚实的基础。数学是一门有趣而重要的学科,通过学习有理数和无理数,我们可以更好地理解和应用数学,为我们的未来发展打下良好的数学基础。

七年级数学有理数与无理数,初一数学有理数无理数

1、有理数是“数与代数”领域中的重要内容之一,在现实生活中有广泛的应用,是继续学习实数、代数式、方程、不等式、直角坐标系、函数、统计等数学内容以及相关学科知识的基础。数学上,有理数是一个整数a和一个正整数b的比,例如3/8,通则为a/b。0也是有理数。

2、无理数,也称为无限不循环小数,不能写作两整数之比。若将它写成小数形式,小数点之后的数字有无限多个,并且不会循环。

常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e(其中后两者均为超越数)等。无理数的另一特征是无限的连分数表达式。无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希伯索斯发现。

一、有理数的命名由来

“有理数”这一名称不免叫人费解,有理数并不比别的数更“有道理”。这似乎是一个翻译上的失误。有理数一词是从西方传来,在英语中是rational number,而rational通常的意义是“理性的”。

中国在近代翻译西方科学著作,依据日语中的翻译方法,以讹传讹,把它译成了“有理数”。这个词来源于古希腊,其英文词根为ratio,就是比率的意思(这里的词根是英语中的,希腊语意义与之相同)。

所以这个词的意义也很显豁,就是整数的“比”。与之相对,“无理数”就是不能精确表示为两个整数之比的数,而并非没有道理。

二、无理数的历史

毕达哥拉斯(Pythagoras,约公元前580年至公元前500年间)是古希腊的大数学家。他证明许多重要的定理,包括后来以他的名字命名的毕达哥拉斯定理(勾股定理),即直角三角形两直角边为边长的正方形的面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积。

毕达哥拉斯将数学知识运用得纯熟之后,觉得不能只满足于用来算题解题,于是他试着从数学领域扩大到哲学,用数的观点去解释一下世界。

经过一番刻苦实践,他提出“万物皆为数”的观点:数的元素就是万物的元素,世界是由数组成的,世界上的一切没有不可以用数来表示的,数本身就是世界的秩序。

参考资料来源:百度百科-有理数

参考资料来源:百度百科-无理数

初一数学有理数分类

一、有理数的分类   

1. 按定义分类   

2. 按正负分类   3. 温馨提示:   

⑴ 无限循环小数可以写成分数形式,所以是有理数。   

⑵ 所有正数组成正数集合,所有负数组成负数集合,所有整数组成整数集合,所有有理数组成有理数集合。  

⑶ 正数和0统称为非负数,负数和0统称为非正数。二、有理数的定义   

有理数为整数(正整数、0、负整数)和分数的统称。正整数和正分数合称为正有理数,负整数和负分数合称为负有理数。因而有理数集的数可分为正有理数、负有理数和零。由于任何一个整数或分数都可以化为十进制循环小数,反之,每一个十进制循环小数也能化为整数或分数,有理数也可以定义为十进制循环小数。

无理数混合运算100题

一. 选择题(每小题3分,共30分)1. 的绝对值是( )A. B. C. D. 2. 当 时,代数式 的值是( ) A. 2 B. 0 C. 4 D. 13. 要使分式 有意义,则 的取值范围是( )A. B. C. D. 4. 抛物线 与 轴的交点坐标是( )A. B. C. D. 5. 如图所示,已知DE//BC,AD = 3, BD = 6,EC = 4,则AE长为( )A. 2 B. 4 C. 1 D. 36. 用地砖铺地面,下列哪种正多边形地砖不能铺满地面A. B. C. D. 7. 已知抛物线 的图象与x轴有两个交点,则 的取值范围是( )A. B. C. D. 8. 某商店举办有奖销售活动,办法如下:凡购满100元者得奖券一张,多购多得,每10000张奖券为一个开奖单位,设特等奖1个,一等奖50个,二等奖200个,那么买100元商品中一等奖的概率应是( )A. B. C. D. 9. 如图所示,一块直角三角形板ABC( )的斜边AC与一个半径为1的圆轮子相靠,则CD等于( )A. B. C. 1 D. 10. 如图所示,在平行四边形ABCD中,AC=4,BD=6,P是BD上任一点,过P作EF//AC,与平行四边形的两条边分别交于点E、F,设BP= ,EF= ,则能反映 与 之间关系的图象为A. B. C. D.

二. 填空题(每小题3分,共30分) 11. 计算: .12. 若 ,则 .13. 我国某城市有人口523800人,用科学计数法表示为 .14. 已知 是方程 的两个实数根,则 . 15. 如果两圆半径分别是2和3,圆心距是1,则两圆位置关系是 .16. 抗“非典”期间,个别商贩将原来每桶价格 元的过氧乙酸消毒液提高20%后出售,市政府及时采取措施,使每桶的价格在涨价后下降15%,那么现在每桶的价格是 元.17. 如图所示, 为等腰直角三角形, ⊙A与BC相切,则图中阴影部分的面积为 .18. 给出下列程序:

(输入 ) (立方) (×k) (+b) (输出) 且已知当输入的 值为1时,输出值为1;输入的 值为-1时,输出值为-3.则当输入的 值为 时,输出值为 .19. 观察下列各式:请你将猜想到规律用自然数 ,表示出来: .20. 如图所示,四边形OABC中,OA=OB=OC, 是 的4倍,若 ,则 .三. 解答题(共60分)21. (8分)计算: 22. (8分)解方程: 23. (10分)为防水患,在漓江上游修筑了防洪堤,其横截面为一梯形(如图所示),堤的上底宽AD和堤高DF都是6米,其中

(1)求证:

(2)如果 ,求堤的下底BC的长。24. (10分)如图所示,已知⊙ 与⊙ 相交于A、B两点,P是⊙ 上一点,PB的延长线交⊙ 于点C,PA交⊙ 于点D,CD的延长线交⊙ 于点N。

(1)过点A作AE//CN交⊙ 于点E,求证:PA=PE

(2)连结PN,若PB=4,BC=2,求PN的长。25. (12分)某中学新建了一栋4层的教学大楼,每层楼有8间教室,进出这栋大楼共有4道门,其中两道正门大小相同,两道侧门大小也相同。安全检查中,对4道门进行了测试:当同时开启一道正门和两道侧门时,2分钟内可以通过560名学生;当同时开启一道正门和一道侧门时,4分钟内可以通过800名学生。

(1)求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生?

(2)检查中发现,紧急情况时因学生拥挤,出门的效率将降低20%,安全检查规定,在紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过4道门安全撤离,假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生。问:建造的这4道门是否符合安全规定?请说明理由。26. (12分)已知如图,点A在 轴上,⊙A与 轴交于B、C两点,与 轴交于点D(0,3)和点E(0,-1)。(1)求经过B、E、C三点的二次函数解析式;

(2)若经过第一、二、三象限的一动直线切⊙A于点P(s,t),与 轴交于点M,连结PA并延长与⊙A交于点Q,设Q点的纵坐标为 ,求 关于 的函数关系式,并观察图形写出自变量 的取值范围;

(3)在(2)条件下,当 时,求切线PM的解析式,并借助函数图像,求出(1)中抛物线在切线PM下方的点的横坐标 的取值范围。四. 选做题(共10分)27. 已知如图,在 中,AB=AC, ,BM=NM,BN=a,则点N到边BC的距离等于 。28. 已知关于 的方程 的两个实数根为 、 ,且 。求证 。答案

一.1.B 2. C 3. D 4. C 5. A 6. C 7. C 8. A 9.D 10.A

二. 11. 12. 13. 4. 15. 内切 16. 1.02a 17. 18. 19. 20.

三.解答题

21.

22.

23. (1)略 (2)21米

24. (1)证明,连结AB,四边形AEPB是⊙ 的内接四边形,在⊙ 中, 又 AE//CN,。

(2)连结AN,四边形ANPB是⊙ 的内接四边形,由(1)可知 又 。又 在⊙ 中,由割线定理: ,. 25.解:(1)设平均每分钟一道正门可以通过 名学生,一道侧门可以通过 名学生,由题意得解得 答:平均每分钟一道正门可以通过学生120名,一道侧门可以通过学生80名。

(2)这栋楼最多有学生4×8×45=1440(名)。拥挤时5分钟4道门能通过5×2(120+80)(1-20%)=1600(名)。,建造的4道门符合安全规定。

26. 解:

(1) 为⊙A的直径, 设经过B、E、C三点的抛物线的解析式为 则 ,解得 。(2)过点P作PF⊥Y轴于F,过点Q作QN⊥Y轴于N。,F点纵坐标为 ,N点的纵坐标为 动切线PM经过第一、二、三象限,观察图形可得 关于 的函数关系式为

(3)当 时,Q点与C点重合,连结PB。为⊙A的直径, ,即PB⊥ 轴。将 代入 得 设切线PM与 轴交于点I,则AP⊥PI在 与 中,点坐标为(0,5),设切线PM的解析式为点的坐标为 解得 切线PM的解析式为 设切线PM与抛物线 交于G、H两点,由 可得 G、H的横坐标分别为 、 。根据图象可得抛物线在切线PM下方的点的横坐标 的取值范围是

27. 设 设为 ,作ND⊥BC于D,在 中, 在 中, 28. 只要证 即可。法二: 的抛物线,当 时,相应的 值为: 抛物线的顶点 必在 轴或 轴的下方。而抛物线的开口向上,抛物线与 轴的两交点必在1的两侧或同在1这个点。 1. 3/7 × 49/9 - 4/3

2. 8/9 × 15/36 + 1/27

3. 12× 5/6 – 2/9 ×3

4. 8× 5/4 + 1/4

5. 6÷ 3/8 – 3/8 ÷6

6. 4/7 × 5/9 + 3/7 × 5/9

7. 5/2 -( 3/2 + 4/5 )

8. 7/8 + ( 1/8 + 1/9 )

9. 9 × 5/6 + 5/6

10. 3/4 × 8/9 - 1/3

11. 7 × 5/49 + 3/14

12. 6 ×( 1/2 + 2/3 )

13. 8 × 4/5 + 8 × 11/5

14. 31 × 5/6 – 5/6

15. 9/7 - ( 2/7 – 10/21 )

16. 5/9 × 18 – 14 × 2/7

17. 4/5 × 25/16 + 2/3 × 3/4

18. 14 × 8/7 – 5/6 × 12/15

19. 17/32 – 3/4 × 9/24

20. 3 × 2/9 + 1/3

21. 5/7 × 3/25 + 3/7

22. 3/14 ×× 2/3 + 1/6

23. 1/5 × 2/3 + 5/6

24. 9/22 + 1/11 ÷ 1/2

25. 5/3 × 11/5 + 4/3

26. 45 × 2/3 + 1/3 × 15

27. 7/19 + 12/19 × 5/6

28. 1/4 + 3/4 ÷ 2/3

29. 8/7 × 21/16 + 1/2

30. 101 × 1/5 – 1/5 × 21

31.50+160÷40 (58+370)÷(64-45)

32.120-144÷18+35

33.347+45×2-4160÷52

34(58+37)÷(64-9×5)

35.95÷(64-45)

36.178-145÷5×6+42 420+580-64×21÷28

37.812-700÷(9+31×11) (136+64)×(65-345÷23)

38.85+14×(14+208÷26)

39.(284+16)×(512-8208÷18)

40.120-36×4÷18+35

41.(58+37)÷(64-9×5)

42.(6.8-6.8×0.55)÷8.5

43.0.12× 4.8÷0.12×4.8

44.(3.2×1.5+2.5)÷1.6 (2)3.2×(1.5+2.5)÷1.6

45.6-1.6÷4= 5.38+7.85-5.37=

46.7.2÷0.8-1.2×5= 6-1.19×3-0.43=

47.6.5×(4.8-1.2×4)= 0.68×1.9+0.32×1.9

48.10.15-10.75×0.4-5.7

49.5.8×(3.87-0.13)+4.2×3.74

50.32.52-(6+9.728÷3.2)×2.5 1.[(7.1-5.6)×0.9-1.15] ÷2.5

2.5.4÷[2.6×(3.7-2.9)+0.62]

3.12×6÷(12-7.2)-6 (4)12×6÷7.2-6

4. 3/7 × 49/9 - 4/3

5. 8/9 × 15/36 + 1/27

6. 12× 5/6 – 2/9 ×3

7. 8× 5/4 + 1/4

8. 6÷ 3/8 – 3/8 ÷6

9. 4/7 × 5/9 + 3/7 × 5/9

10. 5/2 -( 3/2 + 4/5 )

11. 7/8 + ( 1/8 + 1/9 )

12. 9 × 5/6 + 5/6

13. 3/4 × 8/9 - 1/3

14. 7 × 5/49 + 3/14

15. 6 ×( 1/2 + 2/3 )

16. 8 × 4/5 + 8 × 11/5

17. 31 × 5/6 – 5/6

18. 9/7 - ( 2/7 – 10/21 )

19. 5/9 × 18 – 14 × 2/7

20. 4/5 × 25/16 + 2/3 × 3/4

21. 14 × 8/7 – 5/6 × 12/15

22. 17/32 – 3/4 × 9/24

23. 3 × 2/9 + 1/3

24. 5/7 × 3/25 + 3/7

25. 3/14 ×× 2/3 + 1/6

26. 1/5 × 2/3 + 5/6

27. 9/22 + 1/11 ÷ 1/2

28. 5/3 × 11/5 + 4/3

29. 45 × 2/3 + 1/3 × 15

30. 7/19 + 12/19 × 5/6

31. 1/4 + 3/4 ÷ 2/3

32. 8/7 × 21/16 + 1/2

33. 101 × 1/5 – 1/5 × 21

34.50+160÷40

35.120-144÷18+35

36.347+45×2-4160÷52

37(58+37)÷(64-9×5)

38.95÷(64-45)

39.178-145÷5×6+42

40.812-700÷(9+31×11)

41.85+14×(14+208÷26) 43.120-36×4÷18+35

44.(58+37)÷(64-9×5)

45.(6.8-6.8×0.55)÷8.5

46.0.12× 4.8÷0.12×4.8

47.(3.2×1.5+2.5)÷1.6

48.6-1.6÷4= 5.38+7.85-5.37=

49.7.2÷0.8-1.2×5= 6-1.19×3-0.43=

50.6.5×(4.8-1.2×4)= 1.运送29.5吨煤,先用一辆载重4吨的汽车运3次,剩下的用一辆载重为2.5吨的货车运。还要运几次才能完? 2.一块梯形田的面积是90平方米,上底是7米,下底是11米,它的高是几米? 3.某车间计划四月份生产零件5480个。已生产了9天,再生产908个就能完成生产计划,这9天中平均每天生产多少个? 4.甲乙两车从相距272千米的两地同时相向而行,3小时后两车还相隔17千米。甲每小时行45千米,乙每小时行多少千米? 5.某校六年级有两个班,上学期级数学平均成绩是85分。已知六(1)班40人,平均成绩为87.1分;六(2)班有42人,平均成绩是多少分? 6.学校买来10箱粉笔,用去250盒后,还剩下550盒,平均每箱多少盒? 7.四年级共有学生200人,课外活动时,80名女生都去跳绳。男生分成5组去踢足球,平均每组多少人? 8.食堂运来150千克大米,比运来的面粉的3倍少30千克。食堂运来面粉多少千克? 9.果园里有52棵桃树,有6行梨树,梨树比桃树多20棵。平均每行梨树有多少棵? 10.一块三角形地的面积是840平方米,底是140米,高是多少米? 11.李师傅买来72米布,正好做20件大人衣服和16件儿童衣服。每件大人衣服用2.4米,每件儿童衣服用布多少米? 12.3年前母亲岁数是女儿的6倍,今年母亲33岁,女儿今年几岁? 13.一辆时速是50千米的汽车,需要多少时间才能追上2小时前开出的一辆时速为40千米汽车? 14.小东到水果店买了3千克的苹果和2千克的梨共付15元,1千克苹果比1千克梨贵0.5元,苹果和梨每千克各多少元? 15.甲、乙两车分别从A、B两地同时出发,相向而行,甲每小时行50千米,乙每小时行40千米,甲比乙早1小时到达中点。甲几小时到达中点? 16.甲、乙两人分别从A、B两地同时出发,相向而行,2小时相遇。如果甲从A地,乙从B地同时出发,同向而行,那么4小时后甲追上乙。已知甲速度是15千米/时,求乙的速度。 17.两根同样长的绳子,第一根剪去15米,第二根比第一根剩下的3倍还多3米。问原来两根绳子各长几米? 18.某校买来7只篮球和10只足球共付248元。已知每只篮球与三只足球价钱相等,问每只篮球和足球各多少元? 1) 178-145÷5×6+42 420+580-64×21÷28

2) 89+456-78

3) 5%+. 3/7 × 49/9 - 4/3

4) 9 × 15/36 + 1/27

5) 2× 5/6 – 2/9 ×3

6) 3× 5/4 + 1/4

7) 94÷ 3/8 – 3/8 ÷6

8) 95/7 × 5/9 + 3/7 × 5/9

9) 6/2 -( 3/2 + 4/5 )

10) 8 + ( 1/8 + 1/9 )

11) 8 × 5/6 + 5/6

12) 1/4 × 8/9 - 1/3

13) 10 × 5/49 + 3/14

14) 1.5 ×( 1/2 + 2/3 )

15) 2/9 × 4/5 + 8 × 11/5

16) 3.1 × 5/6 – 5/6

17) 4/7 - ( 2/7 – 10/21 )

18) 19 × 18 – 14 × 2/7

19) 5 × 25/16 + 2/3 × 3/4

20) 4 × 8/7 – 5/6 × 12/15

21) 7/32 – 3/4 × 9/24

22) 1、 2/3÷1/2-1/4×2/5

23) 2-6/13÷9/26-2/3

24) 2/9+1/2÷4/5+3/8

25) 10÷5/9+1/6×4

26) 1/2×2/5+9/10÷9/20

27) 5/9×3/10+2/7÷2/5

28) 1/2+1/4×4/5-1/8

29) 3/4×5/7×4/3-1/2

30) 23-8/9×1/27÷1/27

31) 8×5/6+2/5÷4

32) 1/2+3/4×5/12×4/5

33) 8/9×3/4-3/8÷3/4

34) 5/8÷5/4+3/23÷9/11

35) 1.2×2.5+0.8×2.5

36) 8.9×1.25-0.9×1.25

37) 12.5×7.4×0.8

38) 9.9×6.4-(2.5+0.24)(27) 6.5×9.5+6.5×0.5

39) 0.35×1.6+0.35×3.4

40) 0.25×8.6×4

41) 6.72-3.28-1.72

42) 0.45+6.37+4.55

43) 5.4+6.9×3-(25-2.5)2×41846-620-380

44) 4.8×46+4.8×54

45) 0.8+0.8×2.5

46) 1.25×3.6×8×2.5-12.5×2.4

47) 28×12.5-12.5×20

48) 23.65-(3.07+3.65)

49)(4+0.4×0.25)8×7×1.25

50) 1.65×99+1.65

51) 27.85-(7.85+3.4)

52) 48×1.25+50×1.25×0.2×8

53) 7.8×9.9+0.78

54) (1010+309+4+681+6)×12

55) 3×9146×782×6×854

56) 15×7/8+6.1-0.60625

57) 3/7 × 49/9 - 4/3

58) 8/9 × 15/36 + 1/27

59) 12× 5/6 – 2/9 ×3

60) 8× 5/4 + 1/4

70) 6÷ 3/8 – 3/8 ÷6

71) 4/7 × 5/9 + 3/7 × 5/9

72) 5/2 -( 3/2 + 4/5 )

73) 7/8 + ( 1/8 + 1/9 )

74) 9 × 5/6 + 5/6

75) 3/4 × 8/9 - 1/3

76) 7 × 5/49 + 3/14

77) 6 ×( 1/2 + 2/3 )

78) 8 × 4/5 + 8 × 11/5

79) 31 × 5/6 – 5/6

80) 9/7 - ( 2/7 – 10/21 )

81) 5/9 × 18 – 14 × 2/7

82) 4/5 × 25/16 + 2/3 × 3/4

83) 14 × 8/7 – 5/6 × 12/15

84) 17/32 – 3/4 × 9/24

85) 3 × 2/9 + 1/3

86) 5/7 × 3/25 + 3/7

87) 3/14 ×× 2/3 + 1/6

88) 1/5 × 2/3 + 5/6

89) 9/22 + 1/11 ÷ 1/2

90) 5/3 × 11/5 + 4/3

91) 45 × 2/3 + 1/3 × 15

92) 7/19 + 12/19 × 5/6

93) 1/4 + 3/4 ÷ 2/3

94) 8/7 × 21/16 + 1/2

95) 101 × 1/5 – 1/5 × 21

96) 0+160÷40 (58+370)÷(64-45)

97) 1120-144÷18+35

98) 347+45×2-4160÷52

99)(58+37)÷(64-9×5)

100) 95÷(64-45)

初一数学有理数无理数

有理数包括正数 、0 、负数。正数包括正整数和正分数,负数包括负整数和负分数。无理数指无限不循环小数, 有理数和无理数是实数。1、把有理数和无理数都写成小数形式时,有理数能写成有限小数和无限循环小数。2、所有的有理数都可以写成两个整数之比;而无理数不能。根据这一点,有人建议给无理数摘掉“无理”的帽子,把有理数改叫为“比数”,把无理数改叫为“非比数”。

3、有理数分为:整数和分数。整数分为正整数、零、负整数;分数分为:正分数、负分数。

4、按有理数的性质分类,有理数分为正有理数、零、负有理数。正有理数分为正整数、正分数;负有理数分为负整数。5、无理数的分类含π的数,如2π等;根式,如:√5等。函数式,如:lg2,sin1°等。

初中数学的概念

1过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短 7 平行公理 经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行 9 同位角相等,两直线平行 10 内错角相等,两直线平行 11 同旁内角互补,两直线平行 12两直线平行,同位角相等 13 两直线平行,内错角相等 14 两直线平行,同旁内角互补 15 定理 三角形两边的和大于第三边 16 推论 三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(等角对等边) 35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形 43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44定理3 两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上 45逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称 46勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方,即a+b=c 47勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系a+b=c,那么这个三角形是直角三角形 48定理 四边形的内角和等于360° 49四边形的外角和等于360° 50多边形内角和定理 n边形的内角的和等于(n-2)×180° 51推论 任意多边的外角和等于360° 52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等 53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等 54推论 夹在两条平行线间的平行线段相等 55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分 56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形 59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形 60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角 61矩形性质定理2 矩形的对角线相等 62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形 63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形 64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等 65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角 66菱形面积=对角线乘积的一半,即S=(a×b)÷2 67菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形 68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角,四条边都相等 70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角 71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的 72定理2 关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分 73逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一点平分,那么这两个图形关于这一点对称 74等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等 75等腰梯形的两条对角线相等 76等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 77对角线相等的梯形是等腰梯形 78平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等 79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线,必平分另一腰 80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线,必平分第 三边 81 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边,并且等于它 的一半 82 梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的 一半 L=(a+b)÷2 S=L×h 83 (1)比例的基本性质 如果a:b=c:d,那么ad=bc 如果ad=bc,那么a:b=c:d 84 (2)合比性质 如果a/b=c/d,那么(a±b)/b=(c±d)/d 85 (3)等比性质 如果a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0),那么 (a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b 86 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例 87 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例 88 定理 如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边 89 平行于三角形的一边,并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例 90 定理 平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似 91 相似三角形判定定理1 两角对应相等,两三角形相似(ASA) 92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似(SAS) 94 判定定理3 三边对应成比例,两三角形相似(SSS) 95 定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三 角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似 96 性质定理1 相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平 分线的比都等于相似比 97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比 98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方 99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值,任意锐角的余弦值等 于它的余角的正弦值 100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值,任意锐角的余切值等于它的余角的正切值 101圆是定点的距离等于定长的点的集合 102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合 103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合 104同圆或等圆的半径相等 105到定点的距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,定长为半径的圆 106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹,是着条线段的垂直平分线 107到已知角的两边距离相等的点的轨迹,是这个角的平分线 108到两条平行线距离相等的点的轨迹,是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线 109定理 不在同一直线上的三个点确定一条直线 110垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧 111推论1 ①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧 ②弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧 ③平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧 112推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等 113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形 114定理 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等 115推论 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两 弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等 116定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 117推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等 118推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径 119推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形 120定理 圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角 121①直线L和⊙O相交 d<r ②直线L和⊙O相切 d=r ③直线L和⊙O相离 d>r 122切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 123切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径 124推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 125推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 126切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 127圆的外切四边形的两组对边的和相等 128弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角 129推论 如果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等 130相交弦定理 圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等 131推论 如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项 132切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项 133推论 从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 134如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上 135①两圆外离 d>R+r ②两圆外切 d=R+r ③两圆相交 R-r<d<R+r(R>r) ④两圆内切 d=R-r(R>r) ⑤两圆内含d<R-r(R>r) 136定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦 137定理 把圆分成n(n≥3): ⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形 ⑵经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形 138定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆 139正n边形的内角都等于(n-2)×180°/n 140定理 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形 141正n边形的面积Sn=pnrn/2 p表示正n边形的周长 142正三角形面积√3a/4 a表示边长 143如果在一个顶点周围有k个正n边形的角,由于这些角的和应为 360°,因此k×(n-2)180°/n=360°化为(n-2)(k-2)=4 144弧长计算公式:L=n∏R/180 145扇形面积公式:S扇形=n∏R/360=LR/2 146内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r)

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