高中数学的数形结合思想方法,利用数形结合处理数学问题的技巧,老铁们想知道有关这个问题的分析和解答吗,相信你通过以下的文章内容就会有更深入的了解,那么接下来就跟着我们的小编一起看看吧。

高中数学的数形结合思想方法,利用数形结合处理数学问题的技巧

高中数学的数形结合思想方法,利用数形结合处理数学问题的技巧

高中数学是一门需要抽象思维和逻辑推理的学科,而数形结合思想方法是一种重要的处理数学问题的技巧。这种方法通过将数学问题与几何图形相结合,使得抽象的数学概念更加具体和直观。在解决数学问题时,利用数形结合思想方法可以帮助学生更好地理解问题,并能够从图形中得到一些重要的线索和信息。

利用数形结合思想方法可以更好地理解问题。有时,一些数学问题本身就是抽象的,很难通过文字描述来理解。而通过将问题映射到几何图形上,可以使问题具体化,更加直观。在解决线性方程组的问题时,可以将每一个方程看作一个直线,而求解方程组则相当于求解这些直线的交点。这样一来,学生可以通过观察图形来直观地判断方程组的解的特征。

数形结合思想方法可以帮助学生从图形中得到一些重要的线索和信息。很多数学问题都可以通过观察图形来获得一些重要的结论。在解决平面几何的问题时,可以通过观察图形的对称性、相似性等性质来得到一些重要的结论。通过利用这些性质,可以大大简化问题的求解过程,并提高解题的效率。

数形结合思想方法可以帮助学生培养几何直觉和空间想象能力。在解决几何问题时,往往需要学生有较强的空间想象能力,能够将抽象的数学概念与实际的图形相对应。通过反复练习和运用数形结合思想方法,可以帮助学生培养这方面的能力,并提高解题的准确性和速度。

高中数学的数形结合思想方法是一种重要的处理数学问题的技巧。通过将数学问题与几何图形相结合,可以帮助学生更好地理解问题,并能够从图形中获得一些重要的线索和信息。数形结合思想方法还可以帮助学生培养几何直觉和空间想象能力。我们在学习和解决数学问题时,应该充分利用数形结合思想方法,以提高解题的效率和准确性。

高中数学的数形结合思想方法,利用数形结合处理数学问题的技巧

高中数学思想方法有7种,内容如下:

1、函数与方程的思想

函数是高中代数内容的主干,函数思想贯穿于高中代数的全部内容,函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象、概括与提炼,是从函数各部分内容的内在联系和整体角度来考虑问题,研究问题和解决问题。

函数和方程、不等式是通过函数值等于零、大于零或小于零而相互关联的,它们之间既有区别又有联系。函数与方程的思想,既是函数思想与方程思想的体现,也是两种思想综合运用的体现,是研究变量与函数、相等与不等过程中的基本数学思想。2、数形结合的思想

数学研究的对象是数量关系和空间形式,即“数”与“形”两个方面。“数”与“形”两者之间并不是孤立的,而是有着密切的联系。数量关系的研究可以转化为图形性质的研究,反之,图形性质的研究可以转化为数量关系的研究,这种解决数学问题过程中“数”与“形”相互转化的研究策略,即是数形结合的思想。

3、分类与整合的思想高考将分类与整合的思想放在比较重要的位置,并以解答题为主进行考查,考查时要求考生理解什么样的问题需要分类研究,为什么要分类,如何分类以及分类后如何研究与最后如何整合。

特别注意引起分类的原因,我们必须相当熟悉,有些概念就是分类定义的,如绝对值的概念、整数分为奇数偶数等,有些运算法则和公式是分类给出的,例如等比数列的求和公式就分为q=1和q≠1两种情况,对数函数的单调性就分为a>1,0

4、化归与转化的思想

将未知解法或难以解决的问题,通过观察、分析、类比、联想等思维过程,选择运用恰当的数学方法进行变换,化归为在已知知识范围内已经解决或容易解决的问题的思想叫做化归与转化的思想。化归与转化思想的实质是揭示联系,实现转化。转化有等价转化和非等价转化。等价转化前后是充要条件,所以尽可能使转化具有等价性;在不得已的情况下,进行不等价转化,应附加限制条件,以保持等价性,或对所得结论进行必要的验证。

5、特殊与一般的思想

由特殊到一般,由一般到特殊,是人们认识世界的基本方法之一。数学研究也不例外,由特殊到一般,由一般到特殊的研究数学问题的基本认识过程,就是数学研究中的特殊与一般的思想。

6、有限与无限的思想

函数是对运动变化的动态事物的描述,体现了变量数学在研究客观事物中的重要作用。导数是对事物变化快慢的一种描述,并由此可进一步处理和解决函数的增减、极大、极小、最大、最小等实际问题,是研究客观事物变化率和最优化问题的有力工具。

7、或然与必然的思想

随机现象有两个最基本的特征,一是结果的随机性,即重复同样的试验,所得到的结果并不相同,以至于在试验之前不能预料试验的结果;二是频率的稳定性,即在大量重复试验中,每个试验结果发生的频率“稳定”在一个常数附近。

高中数学数形结合

新课程标准中指出,高中数学课程的目标之一是“使学生获得必要的数学基础知识和基本技能,理解基本的数学概念、数学结论的本质,了解概念、结论等产生的背景、应用,体会其中所蕴涵的数学思想和方法,以及它们在后续学习中的作用”。数学思想方法有很多,以下我想结合自己的教学实践,以数形结合思想为例,谈谈我在教学中是如何使用教材使学生的数形结合能力逐步得到提高的。

数学是研究空间形式和数量关系的科学,数形结合思想是重要的数学思想之一,它是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系,既分析研究对象的代数含义,又揭示其几何意义,使数量关系和空间形式巧妙、和谐地结合起来,并充分利用这种结合,寻找解题思路,使问题得到解决。它的实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,在代数与几何的结合上寻找解题思路。它包含两个方面:“以形助数”,即借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系;“以数辅形”,即借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性。正如我国著名的数学家华罗庚先生所说“数缺形时少直观,形离数时难入微,数形结合百般好,隔裂分家万事休”。

一. 利用直观图示理解抽象概念,体会数形结合的思想

在进行人教B版必修1第一章集合的教学时,由于学生刚接触集合这一概念,对集合之间的关系的理解感到困难,因此在教学过程中我做了如下处理。

我先向学生介绍了集合的另一种表示方法维恩(Venn)图,即用平面内一条封闭曲线的内部表示一个集合,然后让学生讨论两条封闭曲线能有多少种不同的位置关系,并让他们画出来。经过讨论,学生画出了四种不同的位置关系(如图)接下来我让他们观察这四种关系的异同点,并引导他们用集合语言加以描述,发现(1)没有公共的部分,即集合没有共同的元素;(2)有公共的部分,即集合有共同的元素,但有些元素不在另一集合中;(3)完全在的内部,(4)与重合,即集合中的任意一个元素都是集合的元素,我们把集合叫做集合的子集()。再深入分析,发现(3)中集合有的元素不属于集合,而(4)中集合的元素完全一样,因此再把子集分为两类:真子集即集合是集合B的子集,并且集合中至少有一个元素不属于集合;集合相等即集合的每一个元素都是集合的元素,反过来,集合的每一个元素也都是集合的元素。通过维恩(Venn)图的直观表示,学生很快理解了“子集”、“真子集”、“集合相等”这些抽象的概念,体会了数形结合的思想。

在讲集合的运算这一节时,我先让学生试着从字面上理解“交”、“并”、“补”的含义,然后让他们利用维恩(Venn)图,从直观上感受“交”、“并”、“补”的意义,最后再以集合语言加以阐述,让学生从各个不同的角度体会集合的“交”、“并”、“补”运算,再次渗透数形结合的思想。

为了考察学生能否运用数形结合思想解决集合的有关问题,在本章的最后我出了一道这样的练习题,“某班有50名学生,先有32人参加电脑绘画比赛,后有24人参加电脑排版比赛,如果有3名学生这两项比赛都没参加,求这个班有多少同学同时参加了两项比赛?”从答题的结果来看,大部分学生都能运用维恩(Venn)图,以形助数,求出正确答案,对数形结合这一数学思想有个初步体会。

二. 通过对函数解析式的代数分析,画函数的图象,研究函数的性质,初步形成数形结合的思想

在进行人教B版必修1第二章函数的教学时,虽然学生在初中对函数已有了初步的认识,但对用集合语言描述函数的概念,用代数方法研究函数的单调性、奇偶性等性质还是感到困难,因此在教学中我做了如下处理。

在讲完函数的概念以后,我出了一道这样的练习题:下列图象中不能作为函数的图象的是( )让学生从形的角度进一步理解函数的概念;在研究一次函数和二次函数的性质与图象时,由于学生在初中已用描点法作过一次函数和二次函数的图象,因此我先从学生已有知识出发,让学生列表、描点、连线,作出一次函数和二次函数的图象,引导他们先从数的角度认识单调性、奇偶性,对称性,然后再通过图象直观感觉单调性、奇偶性,对称性,让学生深刻体会“数缺形时少直观,形离数时难入微”。

三. 借助单位圆的直观性,利用与单位圆有关的三角函数线,运用数形结合思想解决有关问题

在进行人教B版必修4第一章基本初等函数(Ⅱ)的教学时,因为在必修1中对数形结合思想已经进行了有效的渗透,因此想在这一章中试着慢慢放手,让学生自己运用数形结合思想解决有关问题。以下我以《单位圆与三角函数线》这一节为例,说说我是如何借助单位圆,利用与单位圆有关的三角函数线引导学生运用数形结合思想的。

在《单位圆与三角函数线》这一节之前学习了三角函数的定义,该定义从代数角度揭示了三角函数值是一个“比值”。我让学生从代数形式分析了三角函数在各象限的符号,还让学生求了一些轴线角如的三角函数值,并分析了正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域,学生都能得出答案,但让学生记住这些结论时就感到困难了。因此在完成单位圆与三角函数线的教学后,我让学生从几何的角度重新分析了以上问题。因为三角函数线是用轴上向量的长度表示三角函数的绝对值,用方向表示三角函数值的正负号,所以三角函数在各象限的符号直接能通过三角函数线的方向看出,对于这些轴线角的三角函数值及正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域,我自制了几何画板课件,让学生直接从形的角度得到了答案。在角的变化过程中,有些学生还发现正弦值从0开始慢慢增大直到1,然后慢慢减小,当角的终边落在轴的非正半轴时,正弦值为0,再继续逆时针旋转,正弦值还是慢慢减小直到,接下来慢慢增大,当角的终边落在轴的非负半轴时,正弦值为0;而余弦值从1开始慢慢减小,当角的终边落在轴的非负半轴时,余弦值为0,再继续逆时针旋转,余弦值还是慢慢减小直到,接下来慢慢增大,当角的终边落在轴的非正半轴时,余弦值为0,然后继续增大直到1。继续观察,还发现每当角旋转一周时,正弦线、余弦线都会重复出现,这就得到了角与的三角函数间的关系,即,,也为以后理解三角函数的单调性、周期性等性质打下了基础。课后我留了两道选做题,一道是比较不是特殊角的三角函数值的大小,另一道是已知,求的值。从课后反馈来看,有一部分学生还是能通过三角函数线,利用数形结合的思想加以解决。

教师要认真研究教材,从数学发展的全局着眼,从具体的教学过程着手,逐步渗透数形结合的思想,让学生养成数形结合的良好习惯,使它成为分析问题、解决问题的工具,这是我们所有数学教育工作者应该追求的目标。

数形结合思想例题

(一)函数的图像函数的图像是函数的一种直观表示形式,它从“形”的方面刻画了函数变量之间的对应关系;通过观察函数的图像,可以形象而直观地了解到函数的有关性质和变化规律;借助函数的图像,既有助于记忆函数的有关性质和变化规律,又有助于研究函数的性质,以及利用数形结合的方法去解决某些问题;高考中有关函数的图像主要考查基本初等函数及简单的三次函数的图像。 (二)函数的作图1、描点作图:对一般函数的作图常采用描点作图,一般步骤是:①确定函数的定义域;②列表;③描点;④连线成图。2、特征值作图:对基本初等函数的作图常采用特征值描点作图,常常采用的特征值有:最值,零点,对称轴等。3、对称变换作图:对对称函数的作图,可以先作出部分图像,然后利用对称性作出对称部分的图像。基本处理思路是将函数图像的对称性转化为点的对称性来处理。设函数y=f(x),则有:①关于点(a,b)对称的函数为:2b-y=f(2a-x)即y=2b-f(2a-x);特别地,关于原点对称的函数为y=-f(-x);②关于直线x=a对称的函数为:y=f(2a-x);特别地,关于y轴对称的函数为y=f(-x);③关于直线y=b对称的函数为:2b-y=f(x)即y=2b-f(x);特别地,关于x轴对称的函数为y=-f(x);4、平移变换作图:对由基本初等函数平移得到的函数的作图,可以先作出基本初等函数的图像,然后再经水平或竖直方向上的平移得到所求函数的图像。平移的规律:向坐标轴的正向平移m(>0)时,将对应的坐标减去m;向坐标轴的负向平移n(>0)时,将对应的坐标加上n。如将y=f(x)向下平移2个单位,则得到y+2=f(x)即y=f(x)-2;将y=f(x)向左平移3个单位,则得到y=f(x+3)的图像。5、伸缩变换作图:对由基本初等函数伸缩得到的函数的作图,可以先作出基本初等函数的图像,然后再经水平或竖直方向上的伸缩变换得到所求函数的图像。伸缩变换的规律:沿坐标轴方向伸长m(>1)倍时,在对应坐标前乘以。如将y=f(x)沿水平方向伸长2倍,则得到y=f().6、翻折变换作图:一般属于局部对称变换作图。 (三)函数图像的应用1、利用函数图像,研究函数的几何性质,如单调性,周期性,奇偶性,最值,零点,值域及定义域,对称性等;2、利用函数图像进行数形结合的思想方法解题,将代数问题转化为平面解析几何问题处理。 四、考点与典型例题考点一 函数的图像例1、(2008全国I卷) 汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车。若把这一过程中汽车的行驶路程s看成是时间t的函数,则其图像可能是( )【分析】首先明确路程一直在增加,所以D明显错误;汽车开始时速度较小,在单位时间内路程增加得慢,匀速行驶时路程呈直线递增,减速过程中路程增加又变慢,故选A。【解答】A。【点评】本题考查对图像变化趋势的实际意义的理解。 考点二 描点作图例2、画出函数的图像。【分析】要注意到定义域是{x|x≥0},列表描点时横坐标只取非负数。【解答】函数的定义域为{x|x≥0},列表如下:x01234y012在坐标系中描点并连线成图:【点评】利用描点法作图时,一要注意定义域,二要注意取“足够”多的点,过少难以确定图像的形状,过多则会给作图带来麻烦,三要注意连线时应以光滑的曲线连接。 考点三 特征值作图例3、作函数y=x2-2x+3的图像。【分析】这是一条开口向上的抛物线,所以要画出其图像,只需确定其最低点、与坐标轴交点及对称轴即可。【解答】由y=x2-2x+3=(x-1)2+2,故该函数的对称轴方程为x=1,最低点坐标为P(1,2),与y轴交点为M(0,3)在坐标系中画出图像如下:【点评】对一次函数、二次函数、反比例函数等大家都比较熟悉的简单函数的作图,我们均可采用特征值作图法,由最值点、零点、与y 轴交点、对称轴等特征值确定图像的大致位置和形状。 考点四 平移变换作图例4、作出函数的图像。【分析】若用描点作图法,需要求出定义域以及单调性;若考虑到式子的特征,可以分离变量,将自变量集中到分母上,联系反比例函数平移去解决。【解答】故可将的图像向左平移1个单位,再向上平移1个单位,即可得到的图像。【点评】认真分析函数的形式特征,联系基本的初等函数,寻找它们之间的异同点。 考点五 伸缩变换作图例5、由y=f(x)的图像经怎样的变换可以得到y=2f(3x)的图像?【分析】将y=2f(3x) 化为,比较,比较变量的变化,从而有:【解答】先保持y=f(x)的纵坐标不变,将每一点的横坐标变为原来的;然后保持横坐标不变,将每点的纵坐标变为原来的2倍,即可得到y=2f(3x)的图像。【点评】对伸缩变换,主要考虑变换前后变量系数的变化。 考点六 翻折变换作图例6、画出函数y=|x+1|的图像。【分析】当x+1≥0时,函数y=x+1的图像和y=|x+1|的图像一致;当x+1<0时,y=|x+1|=-(x+1),其图像与y=x+1的图像关于x轴对称。【解答】先作出函数y=x+1的图像,然后保持x+1≥0的图像不变,将x+1<0时的y=x+1的图像沿x轴对称地翻折,即可得到y=|x+1|的图像。【点评】翻折变换一般只需进行局部对称变换,所以需要研究是哪个区间上的对称变换。 考点七 综合作图:有时将几种变换手法结合起来,一般地,先考虑平移变换,再考虑伸缩变换。例7、由函数y=f(x)的图像经怎样的变换可以得到y=2f(3x-4)-5的图像?【分析】【解答】先将y=f(x)的图像向右平移4个单位,再向下平移个单位;再将每一点的横坐标变为原来的,每一点的纵坐标变为原来的2倍,即可得到y=2f(3x-4)-5的图像。【点评】对涉及两种及两种以上变换手法的函数作图,一般地,可以先将函数式整理成变换前函数式的形式,然后考察相应位置的变量间的变化关系。如本题将函数式变形成后,就可以看出:,从而可以清晰地知道变换关系。 考点八 利用函数图像研究函数性质例8、已知函数的图像如图所示,则函数的解析式是 。【分析】由图像可知,这是一个分段函数,所以在探求解析式时应分区间来探究。【解答】当x∈[-1,0]时,y=-x-1;当x∈(0,1)时,y=x。故【点评】由函数图像探求其解析式一般都是在明确函数类型的前提下进行,可以先设出这种函数的一般式,然后通过特殊点坐标代入的方法确定系数的值。 考点九 利用数形结合的思想方法解题例9、试证明:如果函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x),则f(x)的图像关于直线x=a对称。【分析】证明函数图像的对称性,一般地可以转化为图像上点的对称性来处理;本题证明f(x)的图像关于直线x=a对称,可在f(x)的图像上任取一点P,证明P关于直线x=a的对称点Q也在该函数图像上即可。【解答】证明:在y=f(x)的图像上任取一点P(x,y),P点关于x=a的对称点为Q(2a-x,y),则f(2a-x)=f[a+(a-x)]=f[a-(a-x)]=f(x),故Q点坐标也满足y=f(x),故Q点也在该曲线上,因此可得:f(x)的图像关于直线x=a对称。【点评】结合图形进行直观感知,一方面有助于理解和记忆函数的性质,另一方面有助于得到解题思路,获得快捷的解题方法。 五、本讲涉及的主要数学思想方法1、数形结合的思想方法:此处所指数形结合的方法指的是在“数(式)”与“形”之间建立联系,利用“形”的直观性来解决“数(式)”的问题。本讲内容蕴含着丰富的数形结合的可能性,处理时应注意数形联系,借助函数图像进行解题。2、化归的思想:借助数形结合,把有关数(式)的特征研究化归为形的几何特征的研究。3、几何变换的思想方法:本讲对中学数学中常见的几何图形变换的方法均进行了系统的学习,包括平移、伸缩、对称和翻折四种变换手法,学习中要善于利用这几种变换手法,将复杂函数的作图问题转化为基本初等函数的作图问题。 【模拟试题】一、选择题1、下列图形中不可能是函数图像的有( )A B C D2、向高为H的容器注水,注满为止,则注水量V与水深h的函数关系图像是( )3、y=ax2+bx+c与y=ax+b(a≠0)在同一坐标系中的图像是( )4、下列四个图形中,能表示以[-1,1]为定义域,以[0,1]为值域的函数关系的是( )A、 B、C、 D、5、由函数f(x)=x2-1经怎样的平移可以得到函数f(x)=x2+2x+3的图像( )A、向左平移1个单位,向下平移3个单位;B、向左平移1个单位,向上平移3个单位;C、向右平移1个单位,向下平移3个单位;D、向右平移1个单位,向上平移3个单位;6、关于函数y=|x-2|+2的对称性的描述,正确的是( )A、关于x轴对称 B、关于y轴对称C、关于x=2对称 D、关于y=2对称7、已知函数y=f(x)的图像经过P(1,2),则函数y=f(x-2)的图像必经过( )A、(1,2) B、(2,2) C、(3,2) D、(4,2) 二、填空题8、(2004.上海)设函数f(x)的图像关于原点对称,其定义域为[-5,5],若当x∈[0,5]时,f(x)的图像如图所示,则不等式f(x)<0的解集是 。9、已知对一切x∈R,都有f(2+x)=f(2-x),且方程f(x)=0有五个不同的根,这五个根的和为 。 三、解答题10、试讨论函数的图像与函数的图像的关系。11、下列函数的图像可由y=x2的图像经过怎样的“伸缩变换”而得到?①y=x2 ②y=4x212、画出下列函数的图像。① ②13、(2000.上海.文)已知函数f(x)=x2+2ax+2,x∈[-5,5].①当a=-1时,求函数f(x)的最大值和最小值。②求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间[-5,5]上是单调函数。 统计学 中学不要求做深入的 探索

利用数形结合处理数学问题的技巧

著名数学家华罗庚说过:“数缺形时少直观,形少数时难入微,数形结合百般好,隔裂分家万事休。”这句话形象、简明、扼要地指出了数和形的相互依赖、相互制约的辩证关系。“数形结合”既是一种重要的数学思想,也是一种解决数学问题的有效方法。下面我就结合自己的教学实际谈谈小学数学课堂教学中应如何有效渗透数形结合的数学思想方法。

1 以形促思,在数的认识教学中,渗透数形结合思想方法,帮助学生很好地建立数感数感是一种主动、自觉或自动化的理解数和运用数的态度和意识,是对数学对象、材料直接迅速、正确敏感的感受能力。《数学课程标准》指出:“数感主要表现在理解数的意义;能用多种方法表示数。”例如教学《10 的认识》时,我请小朋友们认真观察图,从图中你知道了什么?让学生利用数数的经验上台现场数数后,学生明白10 个人、10 只鸽子都可以用数字10 表示。接着让学生摆小棒操作,知道一捆就是1 个十,所以10 个1 是十。接着我让学生找一找生活中哪些物体的个数可以用数字10 表示。最后让“10”宝宝参加数字排队队,0~9这几个数字宝宝已经按从小到大的顺序排好队了(出示尺子图),10 应该排在哪儿?请计数器来帮忙。学生动手操作先拔8 颗,再添一颗是几颗(使生能直观感觉到9 比8 多1)?9 颗再添上一颗是几颗?10 颗再去掉一颗是几颗(使生感觉到10 比9 多1)?10 应该排在哪儿?回到尺子图,让生猜猜9 的后面是几?请生分别按从小到大、从大到小的顺序读0~10 这几个数字。在以上教学中,我巧妙渗透数形结合的思想方法,使学生在对具体数量的感知和体验中,进一步强化了数感,加深了对数的意义的认识。

2 借形理解,在概念教学中,加强实验操作,渗透数形结合思想方法,使学生直观地理解概念数学概念是知识教学中的重要组成部分,在概念教学中,仅阐明其实际意义是不够的,还应从事物的整体、本质和内在联系出发,对概念进行进行全面分析,突出其本质属性,但它的抽象性、枯燥性使得教学效果不尽如人意,学生学起来比较困难。借助直观的图形、加强实验操作可以将概念教学趣味化、形象化,从而帮助学生在轻松、愉快的学习氛围中理解概念的形成过程。

例如:在《认识体积》的教学中,我通过3 个步骤渗透数形结合的思想方法,让学生借形直观地理解概念:2.1 通过实验,使学生体会到物体是占有空间的。教师出示两个一样的杯子,左边的盛满水,右边的放了一个柑果。请同学们猜猜,如果把左边杯子里的水倒入右边的杯子,结果会怎样?学生猜测,并通过实验来验证猜测是否是对的。学生倒水操作明白:原来两个杯子装的水是一样多的,现在放进去一个柑果,杯中有一部分空间被柑果占去了,能装水的空间就少了。使学生体会到物体占有一定的空间。

2.2 通过实验,使学生体会到物体所占的空间是有大有小的。出示两个完全一样的玻璃杯:一个杯子里放的是柑果,另一个杯子里放的是葡萄,如果往这两个杯子里倒水,倒进哪个杯里的水会多一些?学生猜测并再次实验操作,验证猜想:两个杯子能装的水同样多,柑果占的空间大,因而相应杯中的水就少;葡萄占的空间小,因而相应杯中的水就多。

2.3 揭示体积的含义。出示3 个大小不同的水果,这3 个水果,哪一个占的空间大?把它们放在同样大的杯中,再倒满水,哪个杯里水占的空间大?学生实验操作,明确:物体是占有空间的,一个物体越大,它占有的空间就越大,反之,一个物体越小,它占有的空间就越小。我们把物体所占空间的大小叫做物体的体积。学生举生活实例比较两个物体体积的大小,认识体积,我通过三部教学,加强实验操作,渗透数形结合思想方法,学生不仅借形直观地理解概念,而且能够应用概念。

3 看形想量,结合“量的计量”的教学渗透数形结合思想方法,帮助学生建立质量观念数学的主要研究对象是数与形。但在现实生活中,数与形和量与计量总是密切联系着的,学习数学必然要涉及量与计量。如何在量与计量中渗透数形结合呢?

例如《千克的认识》教学:①认识秤和秤面。观察秤面从秤面上看到了什么?②建立1 千克的质量观念。a.掂一掂,初步体验一千克的重量。分小组称一称2 袋盐,通过观察发规2 袋盐重1 千克。b.猜一猜,再次体验1 千克的重量。先猜一猜几个这样的苹果、桔子、桃子重1 千克,最后称一称,数一数1 千克这样的果到底有几个?c.比一比,加深对一千克的认识。师出示一个重2 千克大米,让几名学生拎一拎,说说感觉,猜猜重多少千克,通过比较进一步加深对1 千克的体验。

建立“千克”这个计量单位的观念,对学生来说比较抽象,渗透数形结合的思想方法,学生就很容易建立“千克”的表象,并能运用。

4 看数画形,在解决问题教学中,渗透数形结合思想方法,使解题过程具体化、明朗化数学家华罗庚曾说:“人们对数学早就产生了干燥无味、神秘难懂的印象,成因之一便是脱离实际。”数形结合的思维方法,便是理论与实际的有机联系,是思维的起点,是儿童建构数学模型的基本方法。

例如学生初步认识分数时,通过数形结合的对应思想,帮助学生构建了整体“1”与部分量之间的关系,在各种图形的运用中,线段图的使用显得更为清晰方便,使学生能够一目了然地获取相关的信息和问题,直观形象地了解到各信息与问题之间的数量关系。

气象小组有12 人,摄影小组的人数是气象小组的13 ,航模小组的人数是摄影小组的34 。航模小组有多少人?很多学生在读完题后显得较为迷茫,觉得有些混乱,不知道从何开始思考,这时我引导他们与老师一起尝试用线段图来表示三者之间的数量关系。

运用数形结合画出图形,帮助学生分析数量关系,揭示本质,有助于学生逻辑思维与形象思维协调发展,相互促进,提高学生的思维能力,而且有助于培养学生的创新思维和数学意识,并能正确解题。摄影小组:12×13=4(人),航模小组:4×43=3(人)。5 看“数”想“形”,在几何与图形教学中,渗透数形结合思想方法,使学生的空间观念得到培养在教学中我们都知道,虽然“形”有形象、直观的优点,但在定量方面还必须借助“数”来计算。

例如练习题:把一根长20 厘米,宽5 厘米,高3 厘米的长方体木料沿横截面锯成2 段,表面积增加多少?这样的题目一出现,学生就无从下手,不知道应该怎样计算?这时我就利用看“数”想“形”的数形结合思想,引导学生经历三个空间观念的建立解题过程:动手操作,画出一个长方体,才长方体上切2 段,看看表面积多了几个面,多的这几个面的面积合起来就是表面积增加的部分———教师实物操作,让学生验证自己所切的面是否与老师操作的一样———抽象概括,使物体的整体模型印刻在脑海中,从而空间观念在活动体验中得到培养和形成。

6 数形结合、数形互用,学生的思维能力得到提升在实际教学中,数和形往往是紧密结合在一起,相互并存的。数形结合、数形互用往往会启发学生展开发散思维。经过长期发散思维训练的学生,解题方法多样,思维灵活多变,往往能在发散的基础上产生奇特的思路,从而使解法变得十分简明扼要而且巧妙。

例如一年级上册教材中有一道思考题:小朋友们排队做操,小明的前面有8 个人,小明的后面也有8 个人,这一排一共有多少个人?

许多学生一看完题目就马上列式:8+8=16 人,他们对小明是不是也在队伍里面弄不明白,所以出现了错误。针对这种情况,我就指导学生画图解决问题:□□□□□□□□ 小明□□□□□□□□8 + 1 + 8 =17 人这样一画图,数形结合,数形互用,学生就一目了然,找出了自己出现错误的原因,能正确解答。

在小学数学课堂教学中向学生有效渗地、巧妙地渗透并应用数形结合的数学思想方法,充分利用“一图抵百语”的优势,既能为小学数学教学开辟一片广阔的天地,又能为学生的终身学习和可持续发展奠定扎实的基础。

高中数学命题例题

解:因x^2-x-60 即(x-2)(x+4)>0,所以x>2或x<-4

故q:x=-2p:实数x满足x^2-4ax+3a^2<0(a<0)即(x-a)

(x-3a)<0(a<0),故p:3a

即p推出q,但q推不出p所以-2=<3a<0或a<=-4

所以a的取值范围为[-2/3,0)并(-无穷大,-4]

高中数学的数形结合思想方法,利用数形结合处理数学问题的技巧的问题分享结束啦,以上的文章解决了您的问题吗?欢迎您下次再来哦!