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数学物理方程是描述自然界中各种物理现象和数学问题的方程。根据方程的性质和应用领域,数学物理方程可以分为三类典型方程,包括代数方程、微分方程和偏微分方程。

数学物理方程三类典型方程,三大偏微分方程

代数方程是数学物理方程中最简单的一类方程,它只涉及未知数和常数之间的代数关系。代数方程的解可以通过代数运算得到,例如线性方程、二次方程等,这些方程在几何学和力学等领域中有广泛的应用。

微分方程是数学物理方程中更为复杂的一类方程,它涉及到未知函数及其导数之间的关系。微分方程可以描述物体的运动、电路中的电流以及化学反应等各种现象。常见的微分方程包括一阶线性方程、二阶常系数线性方程等,它们在物理学、工程学和生物学等领域中具有重要的应用价值。

偏微分方程是数学物理方程中最为复杂的一类方程,它涉及到未知函数及其多个变量的偏导数之间的关系。偏微分方程可以描述连续介质中的传热、流体力学中的流动以及量子力学中的波动等各种现象。常见的偏微分方程包括热方程、波动方程和扩散方程等,它们在天文学、地球物理学和材料科学等领域中发挥着重要的作用。

数学物理方程可以分为代数方程、微分方程和偏微分方程三类典型方程。这些方程不仅体现了数学与物理的深度结合,同时也为我们研究和解决各种现实问题提供了有效的工具和方法。深入理解和掌握这些典型方程及其解析方法对于我们的学习和应用都具有重要的意义。

数学物理方程三类典型方程,三大偏微分方程

本书首先系统地介绍数学模型的导出和各类定解问题的解题方法, 然后再讨论三类典型方程的基本理论. 这种处理方式, 便于教师授课时选讲和自学者选读. 书中内容深入浅出, 方法多样, 文字通俗易懂, 并配有大量难易兼顾的例题与习题。

《数学物理方程(第2版)》可作为数学和应用数学、信息与计算科学、物理、力学专业的本科生以及工科相关专业的研究生的教材和教学参考书,也可作为非数学专业本科生的教材(不讲或选讲第6章)和教学参考书。也可供数学工作者、物理工作者和工程技术人员作为参考书。 第1章 典型方程的导出、定解问题及二阶方程的分类与化简

1.1 典型方程的导出

1.1.1 守恒律

1.1.2 变分原理

1.2 偏微分方程的基本概念

1.2.1 定义

1.2.2 定解条件和定解问题

1.2.3 定解问题的适定性

1.3 二阶线性偏微分方程的分类与化简

1.3.1 两个自变量的二阶线性偏微分方程的分类与化简

1.3.2 多个自变量的二阶线性偏微分方程的分类

习题1

第2章 Fourier级数方法——特征展开法和分离变量法

2.1 引言

2.2 预备知识

2.2.1 二阶线性常微分方程的通解

2.2.2 线性方程的叠加原理

2.2.3 正交函数系

2.3 特征值问题

2.3.1 Sturm—Liouville问题

2.3.2 例子

2.4 特征展开法

2.4.1 弦振动方程的初边值问题

2.4.2 热传导方程的初边值问题

2.5 分离变量法——Laplace方程的边值问题

2.5.1 圆域内Laplace方程的边值问题

2.5.2 矩形上的Laplace方程的边值问题

2.6 非齐次边界条件的处理

2.7 物理意义、驻波法与共振

习题2

第3章 积分变换法

3.1 Fourier变换的概念和性质

3.2 Fourier变换的应用

3.2.1 一维热传导方程的初值问题

3.2.2 高维热传导方程的初值问题

3.2.3 一维弦振动方程的初值问题

3.2.4 其他类型的方程

3.3 半无界问题:对称延拓法

3.3.1 热传导方程的半无界问题

3.3.2 半无界弦的振动问题

3.4 Laplace变换的概念和性质

3.5 Laplace变换的应用

习题3

第4章 波动方程的特征线法、球面平均法和降维法

4.1 弦振动方程的初值问题的行波法

4.2 dAlembert公式的物理意义

4.3 三维波动方程的初值问题——球面平均法和Poisson公式

4.3.1 三维波动方程的球对称解

4.3.2 三维波动方程的Poisson公式

4.3.3 非齐次方程、推迟势

4.4 二维波动方程的初值问题——降维法

4.5 依赖区域、决定区域、影响区域、特征锥

4.6 Poisson公式的物理意义、Huygens原理

习题4

第5章 位势方程

5.1 Green公式与基本解

5.1.1 Green公式

5.1.2 基本解的定义

5.2 调和函数的基本积分公式及一些基本性质

5.3 Green函数

5.3.1 Green函数的概念

5.3.2 Green函数的性质

5.4 几种特殊区域上的Green函数及Dirichlet边值问题的可解性

……

第6章 三类典型方程的基本理论

附录一 积分变换表

附录二 参考答案

参考文献

数理方程的三个经典方程

答:波动方程:utt2=0;杆振动、弦振动;输运方程:2=0,热传导、扩散;稳定场方程:xx=0稳定浓度、温度、某一区域没有电荷的电势分布;回答泊松方程:xx=(x,y)稳定浓度、温度、某一区域有电荷的电势分布,也给分。三类方程是最基本的这个很重要,而且这个题目卷面已经给了答案了,选择题第5小题,已经给了输运方程的表达式;第4题已经给了稳定场方程的表达式了。明给了4分。大题第3题是让你求波动方程的形式。三类泛定方程,边界条件,初始条件是定解问题最重要的三个要素,这个没掌握,没法解决问题。

数学物理方程中三个典型的方程

数学物理方程主要分为波动方程、输运方程和稳定场方程三大类,大致对应于数学上的双曲型、抛物型、椭圆型偏微分方程,还有别的分法,比如线型、非线性等。波动方程:形式是 (下标表示求偏导数,u为函数, a为常数),包括均匀杆、均与薄膜的微小振动方程、传输线方程(电报方程)、电磁波方程等;输运方程:形式是 (△即拉普拉斯算符),包括扩散方程、热传导方程等;稳定场方程:与时间变量无关的就是拉普拉斯方程△u=0,否则是泊松方程△u=f(x,y,z,t),包括稳定浓度分布、静电场、稳定电流场等。至于边界条件,第一类:规定了u在边界上的数值;第二类:规定了u的一阶导数在边界的值;第三类就是一、二类边界条件的组合。奇点:如1/(z-1),奇点是z=1,称为一阶奇点;1/(z-2)^2,奇点是z=2,称为二阶奇点,在函数定义域(复变函数则为解析平面)内除奇点外就是常点。其实这些基础知识书上都有的。

例 电磁波方程:

特殊方程

特殊方程的解法:

:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程)

;②按解整式方程的步骤(移项,合并同类项,系数化为1)求出未知数的值

;③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).

验根时把整式方程的根代入最简公分母,如果最简公分母等于0,这个根就是增根。否则这个根就是原分式方程的根。若解出的根是曾根,则原方程无解。

如果分式本身约了分,也要带进去检验。

在列分式方程解应用题时,不仅要检验所的解是否满足方程式,还要检验是否符合题意

因式分解

1提公因式法:一般地,如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.

am+bm+cm=m(a+b+c)

运用公式法

①平方差公式:.

a^2-b^2=(a+b)(a-b)

②完全平方公式:

a^2±2ab+b^2=(a±b)^2

③立方和公式:a^3+b^3=

(a+b)(a^2-ab+b^2).

立方差公式:a^3-b^3=

(a-b)(a^2+ab+b^2).

④完全立方公式:

a^3±3a^2b+3ab^2±b^3=(a±b)^3

⑤a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+……+b^(n-2)a+b^(n-1)]

a^m+b^m=(a+b)[a^(m-1)-a^(m-2)b+……-b^(m-2)a+b^(m-1)](m为奇数)

3分组分解法:把一个多项式分组后,再进行分解因式的方法.

4拆项、补项法

拆项、补项法:把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项(或几项),使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解;要注意,必须在与原多项式相等的原则进行变形

十字相乘法

①x^2+(p

q)x+pq型的式子的因式分解

这类二次三项式的特点是:二次项的系数是1;常数项是两个数的积;一次项系数是常数项的两个因数的和.可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解:

x^2+(p

q)x+pq=(x+p)(x+q)

②kx^2+mx+n型的式子的因式分解

如果能够分解成k=ac,n=bd,且有ad+bc=m

时,那么

kx^2+mx+n=(ax

b)(cx

d)

a

-----/b

ac=k

bd=n

c

/-----d

ad+bc=m

例如

把x^2-x-2=0分解因式

因为x^2=x乘x

-2=-2乘1

x

-2

x

1

对角线相乘再加=x-2x=-x

横着写(x-2)(x+1)

三大偏微分方程

传递现象三大微分方程:质量传递微分方程、动量传递微分方程和能量传递微分方程。

微分方程,是指含有未知函数及其导数的关系式。解微分方程就是找出未知函数。微分方程是伴随着微积分学一起发展起来的。微积分学的奠基人Newton和Leibniz的著作中都处理过与微分方程有关的问题。

微分方程的应用十分广泛,可以解决许多与导数有关的问题。物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题,如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题,很多可以用微分方程求解。微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都有应用。数学领域对微分方程的研究着重在几个不同的面向,但大多数都是关心微分方程的解。只有少数简单的微分方程可以求得解析解。不过即使没有找到其解析解,仍然可以确认其解的部分性质。在无法求得解析解时,可以利用数值分析的方式,利用电脑来找到其数值解。

动力系统理论强调对于微分方程系统的量化分析,而许多数值方法可以计算微分方程的数值解,且有一定的准确度。微分方程在物理学、力学中的重要应用,不在于求方程的任一解,而是求得满足某些补充条件的解。微分方程的唯一性:

存在性是指给定一微分方程及约束条件,判断其解是否存在。唯一性是指在上述条件下,是否只存在一个解。

针对常微分方程的初值问题,皮亚诺存在性定理可判别解的存在性,柯西·利普希茨定理则可以判别解的存在性及唯一性。

针对偏微分方程,柯西·克瓦列夫斯基定理可以判别解的存在性及唯一性。皮亚诺存在性定理可以判断常微分方程初值问题的解是否存在。

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