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两类数学归纳法,归纳法证明斐波那契数列

两类数学归纳法,归纳法证明斐波那契数列

斐波那契数列是指从0和1开始,后续的数都是前两个数的和。即数列的第n个数为前两个数的和,用公式表示为:Fn = Fn-1 + Fn-2。斐波那契数列的前几个数可以列举如下:0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...

要证明斐波那契数列的数学归纳法,可以分为两类方法。一类是简单归纳法,即假设前面的k个数满足斐波那契数列的定义,然后验证第k+1个数是否也满足;另一类是强归纳法,即假设前面的所有数都满足斐波那契数列的定义,然后验证第k+1个数是否满足。

采用简单归纳法来证明斐波那契数列。假设第n-1和第n-2个数满足斐波那契数列的定义,即Fn-1 = Fn-2 + Fn-3和Fn-2 = Fn-3 + Fn-4。我们需要验证第n个数也满足这个定义。根据斐波那契数列的定义,第n个数为前两个数的和,即Fn = Fn-1 + Fn-2。将前两个等式代入这个定义中,有Fn = (Fn-2 + Fn-3) + (Fn-3 + Fn-4),化简后得到Fn = (Fn-1 + Fn-2) + Fn-3,即Fn = Fn-1 + Fn-2。第n个数也满足斐波那契数列的定义。

采用强归纳法来证明斐波那契数列。假设前面的所有数都满足斐波那契数列的定义,我们需要验证第n个数也满足。当n=1时,根据斐波那契数列的定义,有F1 = F0 + F-1,即F1 = 1 + 0,显然成立。假设前k个数满足斐波那契数列的定义,即Fk = Fk-1 + Fk-2。我们需要验证第k+1个数也满足。根据斐波那契数列的定义,第k+1个数为前两个数的和,即Fk+1 = Fk + Fk-1。将递推式Fk = Fk-1 + Fk-2代入,有Fk+1 = (Fk-1 + Fk-2) + Fk-1,化简后得到Fk+1 = Fk + Fk-1。第k+1个数也满足斐波那契数列的定义。

无论采用简单归纳法还是强归纳法,都可以证明斐波那契数列的数学归纳法。斐波那契数列的递推关系恒成立,因此这个数列在数学上具有特殊的重要性和应用价值。

两类数学归纳法,归纳法证明斐波那契数列

1、形式上的区别第一类数学归纳法:初始验证只要验证n=1(或n=0)时结论成立;通式假定只要假定n=k时结论也成立;渐进递推在前两条基础上,推导n=k+1时结论也成立。

第二类数学归纳法:初始验证要验证n=1,2,3,……,m时,结论成立;通式假定要假定n=k+1,k+2,k+3,……,k+m时,结论也成立;渐进递推在前两条基础上,推导n=k+m+1时,结论也成立。

第一类数学归纳法比较常见,第二类数学归纳法在证明斐波那契数列通项公式时很有(m=2)。2、本质上的区别

能用第一类数学归纳法证明的用第二类数学归纳法就没有必要了。能用第二类数学归纳法证明的用第一类数学归纳法未必一定奏效。

3、证明过程不同

如果采用第二数学归纳法 假设n<=k成立,证n=k+1成立,可以利用n=1,2,......,k 如果只假设n=k,那就只能利用n=k。

参考资料:

百度百科-第一数学归纳法

百度百科-第二数学归纳法

数学归纳法的一般步骤

知识梳理

1.数学归纳法

证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:

(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N+)时命题成立;

(2)(归纳递推)假设n=k(k≥n0,k∈N+)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立.

只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.

2.数学归纳法的框图表示考向1用数学归纳法证明等式[规律方法] 1.用数学归纳法证明等式问题,要“先看项”,弄清等式两边的构成规律,等式两边各有多少项,初始值n0是多少.3.由n=k时命题成立,推出n=k+1时等式成立,一要找出等式两边的变化(差异),明确变形目标;二要充分利用归纳假设,进行合理变形,正确写出证明过程,不利用归纳假设的证明,就不是数学归纳法考向2用数学归纳法证明不等式[规律方法] 1.当遇到与正整数n有关的不等式证明时,若用其他方法不容易证明,则可考虑应用数学归纳法.2.用数学归纳法证明不等式的关键是由n=k时命题成立,再证n=k+1时命题也成立,在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明,充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧,使问题得以简化.考向3.归纳——猜想——证明[规律方法] 1.猜想{an}的通项公式时应注意两点:(1)准确计算a1,a2,a3发现规律(必要时可多计算几项);(2)证明ak+1时,ak+1的求解过程与a2,a3的求解过程相似,注意体会特殊与一般的辩证关系.2.“归纳—猜想—证明”的模式,是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式,这种方法在解决探索性问题、存在性问题时起着重要作用,它的模式是先由合情推理发现然后经逻辑推理证明结论的正确性.[思想与方法]

1.数学归纳法是一种重要的数学思想方法,主要用于解决与正整数有关的数学命题.证明时步骤(1)和(2)缺一不可,步骤(1)是步骤(2)的基础,步骤(2)是递推的依据.2.在推证n=k+1时,可以通过凑、拆、配项等方法用上归纳假设.此时既要看准目标,又要弄清n=k与n=k+1之间的关系.在推证时,应灵活运用分析法、综合法、反证法等方法.

归纳法证明步骤

基本步骤(一)第一数学归纳法:一般地,证明一个与自然数n有关的命题P(n),有如下步骤:(1)证明当n取第一个值n0时命题成立。n0对于一般数列取值为0或1,但也有特殊情况;(2)假设当n=k(k≥n0,k为自然数)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立。综合(1)(2),对一切自然数n(≥n0),命题P(n)都成立。(二)第二数学归纳法:对于某个与自然数有关的命题P(n),(1)验证n=n0时P(n)成立;(2)假设n0≤nn0)成立,能推出Q(k)成立,假设

Q(k)成立,能推出

P(k+1)成立;综合(1)(2),对一切自然数n(≥n0),P(n),Q(n)都成立。

归纳法证明斐波那契数列

假设对小或等于n的自然数k,a(k)={[(1+sqrt(5))/2]^k - [(1-sqrt(5))/2]^k }/sqrt(5)都成立,当n=k+1时,就有a(k+1)=a(k)+a(k-1)={[(1+sqrt(5))/2]^k - [(1-sqrt(5))/2]^k }/sqrt(5)+{[(1+sqrt(5))/2]^(k-1) - [(1-sqrt(5))/2]^(k-1 )}/sqrt(5)={[(1+sqrt(5))/2]^(k-1)[(3+sqrt(5))/2] - [(1-sqrt(5))/2]^(k-1))[(3-sqrt(5))/2] }/sqrt(5)={[(1+sqrt(5))/2]^(k-1)[(6+2sqrt(5))/4] - [(1-sqrt(5))/2]^(k-1))[(6-2sqrt(5))/4] }/sqrt(5)={[(1+sqrt(5))/2]^(k-1)[(1+sqrt(5))/2] ^2 - [(1-sqrt(5))/2]^(k-1)[(1-sqrt(5))/2] ^2}/sqrt(5)={[(1+sqrt(5))/2]^(k+1)- [(1-sqrt(5))/2]^(k+1)}/sqrt(5)这就说明公式对n=k+1也成立。

数学归纳法证明解题要点

最简单和常见的数学归纳法是证明当n等于任意一个自然数时某命题成立。证明分下面两步:

1、证明当n= 1时命题成立。

2、假设n=m时命题成立,那么可以推导出在n=m+1时命题也成立。(m代表任意自然数)

数学归纳法对解题的形式要求严格,数学归纳法解题过程中,第一步验证n取第一个自然数时成立,之后假设n=k时成立,然后以验证的条件和假设的条件作为论证的依据进行推导,在接下来的推导过程中不能直接将n=k+1代入假设的原式中去。最后总结表述。

第一归纳法和第二归纳法区别

一、相同点:第一数学归纳法和第二数学归纳法是等价的。二、不同点

1、形式上的区别

第一数学归纳法:初始验证只要验证n=1(或n=0)时结论成立;通式假定只要假定n=k时结论也成立;渐进递推在前两条基础上,推导n=k+1时结论也成立。

第二数学归纳法:初始验证要验证n=1,2,3,……,m时,结论成立;通式假定要假定n=k+1,k+2,k+3,……,k+m时,结论也成立;渐进递推在前两条基础上,推导n=k+m+1时,结论也成立。

2、使用方法不同

第一数学归纳法:第一归纳法是第二归纳法的特殊形式。凡是能用第一归纳法的,都可以使用第二归纳法。

第二数学归纳法:第二归纳法可以证明的,第一归纳法并不一定能证明。

3、证明过程不同

如果采用第二数学归纳法,假设n<=k成立,证n=k+1成立,可以利用n=1,2,......,k;如果只假设n=k,那就只能利用n=k。

参考资料来源:百度百科--第一数学归纳法

参考资料来源:百度百科--第二数学归纳法

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