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高中数学抛物线焦点弦性质,抛物线焦点弦的性质

高中数学抛物线焦点弦性质,抛物线焦点弦的性质

抛物线是我们高中数学中经常遇到的一个曲线,它有很多有趣而有用的性质。抛物线焦点弦是一个引人注目的性质,它可以帮助我们更好地理解抛物线的特性。

我们来看一下抛物线的定义。抛物线是由一个定点(焦点F)和一条定直线(准线l)所确定的集合,其到焦点的距离等于到准线的距离。抛物线的准线是水平直线,而焦点是准线的中点。

当我们在抛物线上取两个点A和B,并且通过这两个点画一条直线,我们称这条直线为抛物线的焦点弦。焦点弦有一些独特的性质。

我们可以发现焦点弦的中点M恰好在准线上。这是因为在抛物线上任取两点A和B,它们到焦点F的距离相等,所以这两条线段FA和FB的中点必然位于准线上。

焦点弦的中点M也是抛物线的对称中心。这意味着当我们将抛物线上的焦点弦折叠时,焦点弦的两个端点会重合,同时也就达到了抛物线的对称性质。

焦点弦的长度等于抛物线焦点到焦点弦的垂直距离的两倍。这可以通过利用直角三角形的性质得到。因为焦点到焦点弦的垂直距离等于焦点弦的长度的一半,所以焦点弦的长度就等于焦点到焦点弦的垂直距离的两倍。

抛物线的焦点弦可以作为抛物线的辅助线,帮助我们求解一些相关的几何问题。利用焦点弦的性质,我们可以证明抛物线上的任意一条弦与焦准线的垂直平分线相交于焦点。

抛物线焦点弦具有一些特殊的性质,它不仅能帮助我们更好地理解抛物线的特性,还可以作为解决几何问题的辅助工具。在高中数学的学习中,我们应该注重抛物线焦点弦的性质的理解和应用,从而提高我们的数学能力。

高中数学抛物线焦点弦性质,抛物线焦点弦的性质

抛物线焦点弦性质及推导过程:

要证得先给出定义:

定义:由平面内到一个定点和一条定直线距离相等的所有点构成的图形,称为抛物线。定点称为抛物线的焦点,定直线称为抛物线的准线,,焦点到准线的距离称为焦准距。

结论 1 抛物线是轴对称图形,准线过焦点的垂线是它的一条对称轴. 证明

设焦点为 FF, 准线为 ll, 轴为 aa, 抛物线上有一点 PP. 过 PP 作 PP′⊥lPP′⊥l, 垂足为 P′P′. 当 PP 不在 aa 上时,作 PP 关于 aa 的对称点 QQ, 作 P′P′ 关于 aa 的对称点 Q′Q′. 连接 FPFP、FQFQ. 由 a⊥la⊥l 知 PP′∥aPP′∥a, 所以 QQ′∥aQQ′∥a, 所以 QQ′⊥lQQ′⊥l. 由对称知 PP′=QQ′PP′=QQ′, FP=FQFP=FQ, 又 FP=PP′FP=PP′, 所以 FQ=QQ′FQ=QQ′, 所以 QQ 在抛物线上, 结论得证.

定义 抛物线的准线过焦点的垂线称为抛物线的轴, 轴与抛物线的交点称为抛物线的顶点.

结论 2 设抛物线的焦点为 FF, 顶点为 OO, 焦准距为 pp, 对于抛物线上任意一点 PP, FP=p1+cos∠OFPFP=p1+cos∠OFP.证明

设 FP=ρFP=ρ, ∠OFP=θ∠OFP=θ.

如图,当 θ>90θ>90 时,作 FPFP 在轴上的投影,易得 ρ=pρcosθρ=pρcosθ. 整理得 ρ=p1+cosθρ=p1+cosθ, 即 FP=p1+cos∠OFPFP=p1+cos∠OFP.

同理可证当 0<θ<900<θ<90 时,结论仍然成立.

当 θ=90θ=90 时,PF=pPF=p, 结论仍然成立。

当 θ=0θ=0 时,PF=p2PF=p2, 结论仍然成立.

综上,对于抛物线上任意一点 PP, 结论成立.

推论 1 设抛物线的焦准距为 pp, 过抛物线焦点 FF 的直线与抛物线交于 AA、BB 两点,则有 1AF+1BF=2p1AF+1BF=2p.

推论 2 设抛物线的顶点为 OO, 焦准距为 pp, ∠OFP=θ∠OFP=θ, 过抛物线焦点 FF 的直线与抛物线交于 AA、BB 两点,则有 AB=2psin2θAB=2psin2θ.

结论 3 设抛物线轴与准线的交点为 KK, 过抛物线焦点 FF 的直线与抛物线交于 AA、BB 两点, 则轴平分 ∠AKB∠AKB.如图,设准线为 ll, 轴为 aa, 过 AA 作 AD⊥lAD⊥l, 交 ll 于 DD, 过 B 作 BC⊥lBC⊥l, 交 ll 于 CC.

∵∵ AD⊥lAD⊥l 且 BC⊥lBC⊥l

∴∴ AD∥aAD∥a 且 BC∥aBC∥a

∴∴ KDKC=FAFBKDKC=FAFB

又 ∵∵ FA=ADFA=AD 且 FB=BCFB=BC

∴∴ KDKC=ADBCKDKC=ADBC

∴∴ △KDA△KCB△KDA△KCB

∴∴ ∠DKA=∠CKB∠DKA=∠CKB

∴∴ 轴平分 ∠AKB∠AKB

结论 4 设抛物线焦点为 FF, 准线为 ll, 轴与准线的交点为 KK, 过 FF 的直线与抛物线交于 AA、BB 两点,过 AA 作 AD⊥lAD⊥l, 交 ll 于 DD, 过 B 作 BC⊥lBC⊥l, 交 ll 于 CC, 则FDFD 平分 ∠KFA∠KFA, FCFC 平分 ∠KFB∠KFB, FC⊥FDFC⊥FD.证明

∵∵ FB=BCFB=BC, FA=ADFA=AD

∴∴ ∠AFD=∠ADF∠AFD=∠ADF, ∠BFC=∠BCF∠BFC=∠BCF

∵∵ KF∥ADKF∥AD, KF∥BCKF∥BC

∴∴ ∠KFD=∠ADF∠KFD=∠ADF, ∠KFC=∠FCB∠KFC=∠FCB

∴∴ FDFD 平分 ∠KFA∠KFA, FCFC 平分 ∠KFB∠KFB

∴∴ FC⊥FDFC⊥FD

能想到的性质暂时就这么多。欢迎补充。

抛物线焦点弦的性质

被抛物线过其焦点截得的线段称为它的焦点弦,性质如下。通径长度为2p,通径即0=90°时的焦点弦。以AB为直径的圆必与1相切。

以AF为直径的圆与v轴相切。

直线BB与抛物线的对称轴平行。

过点A作AA垂直于l,垂足为A点,过点B作BB垂直于l,垂足为B点,以AB为直径的圆与直线AB相切,切点为F,连接AF、BF,则有AF垂直于BF。函数的有关概念:

能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域,求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:

1、分式的分母不等于零;

2、偶次方根的被开方数不小于零;

3、对数式的真数必须大于零;

4、指数、对数式的底必须大于零且不等于1;

5、如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的。它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合。

抛物线焦点准线知识点

抛物线的焦点,准线的概念:平面内,到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。其中定点叫抛物线的焦点,定直线叫抛物线的准线。

公式如下图:抛物线是指平面内到一个定点(焦点)和一条定直线(准线)距离相等的点的轨迹。它有许多表示方法,例如参数表示,标准方程表示等等。

它在几何光学和力学中有重要的用处。 抛物线也是圆锥曲线的一种,即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线。抛物线在合适的坐标变换下,也可看成二次函数图像。抛物线的一个描述涉及一个点(焦点)和一条线(该线)。焦点并不在于准则。抛物线是该平面中与阵线和焦点等距的点的轨迹。抛物线的另一个描述是作为圆锥截面,由右圆锥形表面和平行于与锥形表面相切的另一平面的平面的交点形成。第三个描述是代数。

垂直于准线并通过焦点的线(即通过中间分解抛物线的线)被称为“对称轴”。与对称轴相交的抛物线上的点被称为“顶点”,并且是抛物线最锋利弯曲的点。沿着对称轴测量的顶点和焦点之间的距离是“焦距”。

参考资料:百度百科-抛物线

高中数学抛物线焦点弦

焦点弦公式2p/sina^2。

抛物线是指平面内与一定点和一定直线(定直线不经过定点)的距离相等的点的轨迹,其中定点叫抛物线的焦点,定直线叫抛物线的准线。它有许多表示方法,例如参数表示,标准方程表示等等。 它在几何光学和力学中有重要的用处。 抛物线也是圆锥曲线的一种,即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线。抛物线在合适的坐标变换下,也可看成二次函数图像。在数学中,抛物线是一个平面曲线,它是镜像对称的,并且当定向大致为U形(如果不同的方向,它仍然是抛物线)。它适用于几个表面上不同的数学描述中的任何一个,这些描述都可以被证明是完全相同的曲线。

抛物线的一个描述涉及一个点(焦点)和一条线(准线)。焦点并不在准线上。抛物线是该平面中与准线和焦点等距的点的轨迹。抛物线的另一个描述是作为圆锥截面,由圆锥形表面和平行于锥形母线的平面的交点形成。第三个描述是代数。

焦点弦:

焦点弦是指椭圆、双曲线或者抛物线上经过一个焦点的弦。焦点弦是由两个在同一条直线上的焦半径构成的,焦点弦长就是这两个焦半径长之和。连接圆锥曲线上任意两点得到的线段叫做圆锥曲线的弦。若这条弦经过焦点,则称为焦点弦。焦点弦也可以看成由同一直线上的两条焦半径构成。

抛物线的平面几何性质

面内与一个定点F和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点F叫做抛物线的焦点.定直线l 叫做抛物线的准线.新授内容 一,抛物线的范围:y2=2px y取全体实数 X Y X 0 二,抛物线的对称性 y2=2px 关于X轴对称 没有对称中心,因此,抛物线又叫做无心圆锥曲线.而椭圆和双曲线又叫做有心圆锥曲线 X Y 新授内容 定义 :抛物线与对称轴的交点,叫做抛物线的顶点 只有一个顶点 X Y 新授内容 三,抛物线的顶点 y2=2px 所有的抛物线的离心率都是 1 X Y 新授内容 四,抛物线的离心率 y2=2px 基本点:顶点,焦点 基本线:准线,对称轴 基本量:P(决定抛物线开口大小) X Y 新授内容 五,抛物线的基本元素 y2=2px +X,x轴正半轴,向右 -X,x轴负半轴,向左 +y,y轴正半轴,向上 -y,y轴负半轴,向下 新授内容 六,抛物线开口方向的判断 例.过抛物线y2=2px的焦点F任作一条直线m,交这抛物线于A,B两点,求证:以AB为直径的圆和这抛物线的准线相切.分析:运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷.证明:如图.所以EH是以AB为直径的圆E的半径,且EH⊥l,因而圆E和准线l相切.设AB的中点为E,过A,E,B分别向准线l引垂线AD,EH,BC,垂足为D,H,C,则|AF|=|AD|,|BF|=|BC| ∴|AB|=|AF|+|BF| =|AD|+|BC|=2|EH| 求满足下列条件的抛物线的方程 (1)顶点在原点,焦点是(0,-4) (2)顶点在原点,准线是x=4 (3)焦点是F(0,5),准线是y=-5 (4)顶点在原点,焦点在x轴上,过点A(-2,4) 练习 小 结 :1,抛物线的定义,标准方程类型与图象的对应 关系以及判断方法 2,抛物线的定义,标准方程和它 的焦点,准线,方程 3,注重数形结合的思想.手机提问的朋友在客户端右上角评价点【满意】即可.互相帮助,祝共同进步!

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