大家好,今天来为您分享九上数学二次函数知识点九年级数学二次函数笔记的一些知识,本文内容可能较长,请你耐心阅读,如果能碰巧解决您的问题,别忘了关注本站,您的支持是对我们的最大鼓励!

九上数学二次函数知识点总结

九上数学二次函数知识点总结,九年级数学二次函数笔记

二次函数是数学中非常重要的内容之一,它是由一元二次方程所确定的函数。在九年级数学中,我们学习了二次函数的基本概念、性质和图像的绘制方法。我将对九上数学二次函数的知识点进行总结。

二次函数的标准形式为y=ax^2+bx+c,其中a、b、c为常数,a≠0。我们可以根据二次函数的标准形式来确定函数的抛物线开口方向和顶点位置。当a>0时,抛物线开口向上,顶点坐标为(-b/2a,-Δ/4a),其中Δ=b^2-4ac;当a<0时,抛物线开口向下,顶点坐标不变。

我们学习了二次函数的对称轴和顶点坐标的求解方法。对称轴为x=-b/2a,它与抛物线的斜率成正交关系。顶点坐标可以通过将x=-b/2a代入到二次函数中求解。

我们学习了二次函数的图像绘制方法。我们可以通过求解二次方程的根来确定抛物线与x轴的交点,从而绘制出抛物线的形状。当Δ=b^2-4ac>0时,抛物线与x轴有两个交点;当Δ=0时,抛物线与x轴有一个交点;当Δ<0时,抛物线与x轴没有交点。

我们还学习了二次函数与实际问题的应用。二次函数可以用来描述物体的运动轨迹、抛物线的形状、建筑物的设计等。通过对二次函数的分析,我们可以解决很多实际问题,提高我们的数学应用能力。

九上数学二次函数是我们数学学习中的重要内容。通过学习二次函数的基本概念、性质和图像绘制方法,我们可以更好地理解和应用二次函数,提高我们的数学素养和解决实际问题的能力。希望同学们能够深入学习和掌握九上数学二次函数的知识点,为接下来的学习打下坚实的基础。

九上数学二次函数知识点九年级数学二次函数笔记

初三数学二级函数有哪些知识点呢?想要了解的小伙伴,赶紧来瞧瞧吧!下面由我为你精心准备了“初三数学二次函数知识点有哪些”,本文仅供参考,持续关注本站将可以持续获取更多的资讯!   初三数学二次函数知识点有哪些 二次函数介绍 二次函数的基本表示形式为y=ax+bx+c(a≠0)二次函数最高次必须为二次,二次函数的图像是一条对称轴与y轴平行或重合于y轴的抛物线。它的定义是一个二次多项式(或单项式)。 如果令y值等于零,则可得一个二次方程。该方程的解称为方程的根或函数的零点。 二次函数表达式是什么 (一)顶点式 y=a(x-h)+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为(h,k),对称轴为直线x=h,顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax的图像相同,当x=h时,y最大(小)值=k。 (二)交点式 y=a(x-x)(x-x)[仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线,即b-4ac>0] 函数与图像交于(x,0)和(x,0) (三)一般式 y=aX+bX+c=0(a≠0)(a、b、c是常数) 二次函数图像的对称关系 (一)对于一般式: ①y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c两图像关于y轴对称。 ②y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c两图像关于x轴对称。 ③y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx+c-b2/2a关于顶点对称。 ④y=ax2+bx+c与y=-ax2+bx-c关于原点中心对称。(即绕原点旋转180度后得到的图形)。 (二)对于顶点式: ①y=a(x-h)2+k与y=a(x+h)2+k两图像关于y轴对称,即顶点(h,k)和(-h,k)关于y轴对称,横坐标相反、纵坐标相同。 ②y=a(x-h)2+k与y=-a(x-h)2-k两图像关于x轴对称,即顶点(h,k)和(h,-k)关于x轴对称,横坐标相同、纵坐标相反。 ③y=a(x-h)2+k与y=-a(x-h)2+k关于顶点对称,即顶点(h,k)和(h,k)相同,开口方向相反。 ④y=a(x-h)2+k与y=-a(x+h)2-k关于原点对称,即顶点(h,k)和(-h,-k)关于原点对称,横坐标、纵坐标都相反。 求二次函数解析式的方法 (一)条件为已知抛物线过三个已知点,用一般式:y=ax+bx+c,分别代入成为一个三元一次方程组,解得a、b、c的值,从而得到解析式。 (二)已知顶点坐标及另外一点,用顶点式:y=a(x-h)+k,点坐标代入后,成为关于a的一元一次方程,得a的值,从而得到解析式。 (三)已知抛物线过三个点中,其中两点在X轴上,可用交点式(两根式):y=a(x-x)(x-x),第三点坐标代入求a,得抛物线解析式。 二次函数的性质 (一)二次函数的图像是抛物线,抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a。 (二)二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。当a>0时,抛物线开口向上;当a0),对称轴在y轴左侧;当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右侧。 常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于(0,c)。   拓展阅读:中考数学备考方法有哪些 1、中考数学试题的新颖性、灵活性越来越强。 不少师生把主要精力放在难度较大的综合题上,认为只有通过解决难题才能培养能力,因而相对地忽视了基础知识、基本技能、基本方法的复习。复习中首先给出概念、公式、定理,然后讲几道例题,就通过大量的题目来训练。其实定理、公式推证的过程就蕴含着重要的解题方法和规律,教师没有充分暴露思维过程,没有发掘其内在的规律就去做题,试图通过大量地做题去“悟”出某些道理。结果是“悟”不出方法、规律,理解肤浅,记忆不牢,只会机械地模仿,思维水平较低,有时甚至生搬硬套,照葫芦画瓢,将简单问题复杂化,从而造成失分。 2、以课本为主,从教科书中寻找中考题的“影子”。 许多试题的构成是在教科书中的例题、习题的基础上通过类比、加工改造、加强条件或减弱条件、延伸或扩展而成的,所以在复习的第一阶段,应以新课程标准为依据,以教科书为蓝本进行基础知识的复习。 3、突出复习的特点。 从复习安排上来看,搞好基础知识的复习主要依赖于系统的复习,在每一个章节复习中,为了有效地使学生弄清知识的结构,应让学生按照自己的实际查漏补缺,有目的地自由复习。然后让学生通过恰当的训练,加强对概念的理解、结论的掌握、方法的运用和能力的提高。进而达到培养学生的抽象思维能力。 4、梳理知识,加强变式训练。 中考命题是“依据课标,紧扣课本”的,试卷中的.许多题目是以课本中的例题和习题为例加以变化而来的。因此无论什么复习资料都不能代替教材,只有认真地复习教材中的基础知识,掌握基本技能,同时对课本的典型题目做一些变式练习,才能灵活掌握双基,中考中才能正确解答试题。在进行双基复习时,要对课本知识进行梳理,重点知识在梳理中同时加强变式训练,常用辅助教学方法,常用辅助线进行整理,以求熟练掌握。 5、理清脉络抓基础。 复习中要紧扣教材,夯实基础,以基础题型的复习和基本数学思想、数学方法等的训练为主,穿插少量的综合复习,同时关注新学的知识,对课本知识进行系统梳理,形成知识网络,对典型问题进行变式训练,达到举一反三触类旁通的目的,做到以不变应万变,提高应试能力。 6、分别对待各有侧重。 复习中,学生要针对自己掌握知识的情况进行有针对性的复习。如果是学习一般的学生,要对自己严格要求,解题严密、细心;学习拔尖的学生,在复习中不妨加强习题训练,在解题过程中注重逻辑关系。另外还要针对知识点的难易程度,在中考中所占的比例,有区别、侧重的重点复习。有目的地进行纠错训练,分析易错问题。   中考数学选择题答题技巧有哪些 一、排除选项法 选择题因其答案是四选一,必然只有一个正确答案,那么我们就可以采用排除法,从四个选项中排除掉易于判断是错误的答案,那么留下的一个自然就是正确的答案。 二、赋予特殊值法 即根据题目中的条件,选取某个符合条件的特殊值或作出特殊图形进行计算、推理的方法。用特殊值法解题要注意所选取的值要符合条件,且易于计算。 三、通过猜想、测量的方法,直接观察或得出结果 这类方法在近年来的初中题中常被运用于探索规律性的问题,此类题的主要解法是运用不完全归纳法,通过试验、猜想、试误验证、总结、归纳等过程使问题得解。 四、直接求解法 有些选择题本身就是由一些填空题、判断题、解答题改编而来的,因此往往可采用直接法,直接由从题目的条件出发,通过正确的运算或推理,直接求得再与选择项对照来确定选择项。我们在做解答题时大部分都是采用这种方法。 五、待定系数法 要求某个函数关系式,可先假设待定系数,然后根据题意列出方程(组),通过解方程(组),求得待定系数,从而确定函数关系式,这种方法叫待定系数法。 六、不完全归纳法 当某个数学问题涉及到相关多乃至无穷多的情形,头绪纷乱很难下手时,行之有效的方法是通过对若干简单情形进行考查,从中找出一般规律,求得问题的解决。

初三上册数学二次函数

一般式:y=ax^2+bx+c (a不等于0) 顶点〔-b/2a, (b^2-4ac)/2a ]

顶点式:y=a(x-h)^2 +k (a不等于0),顶点(h,k)

交点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a不等于0)其中x1、x2是交x轴两的横坐标

图象的形状与|a|有关,只要|a|相同,两个图象的形状就相同,但位置不一定相同

如1所问,形状相同,开口不同说明所求函数的二次项系数a=2,结合顶点式可写出所求解析式为

y=2x^2-5

如2所问, 因有最高点,所以图象的开口方向向下,且当x>2时,图象呈下降,即顶点的横坐标小于2,所以取顶点坐标为(1,2),a=-1即可,所以可写解析式为y=-(x-1)^2+2,即y=-x^2+2x+1为符合要求的解析式。

初三二次函数所有公式汇总

初中数学公式大全

1 过两点有且只有一条直线

2 两点之间线段最短

3 同角或等角的补角相等

4 同角或等角的余角相等

5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直

6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短

7 平行公理 经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行

8 如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行

9 同位角相等,两直线平行

10 内错角相等,两直线平行

11 同旁内角互补,两直线平行

12两直线平行,同位角相等

13 两直线平行,内错角相等

14 两直线平行,同旁内角互补

15 定理 三角形两边的和大于第三边

16 推论 三角形两边的差小于第三边

17 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°

18 推论1 直角三角形的两个锐角互余

19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和

20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角

21 全等三角形的对应边、对应角相等

22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等

23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等

24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等

25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等

26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等

27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等

28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上

29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合

30 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角)

31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边

32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合

33 推论3 等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°

34 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)

35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形

36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

37 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半

38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半

39 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等

40 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上

41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合

42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形

43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线

44定理3 两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上

45逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称

46勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方,即a^2+b^2=c^2

47勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ,那么这个三角形是直角三角形

48定理 四边形的内角和等于360°

49四边形的外角和等于360°

50多边形内角和定理 n边形的内角的和等于(n-2)×180°

51推论 任意多边的外角和等于360°

52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等

53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等

54推论 夹在两条平行线间的平行线段相等

55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分

56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形

57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形

58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形

59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形

60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角

61矩形性质定理2 矩形的对角线相等

62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形

63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形

64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等

65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角

66菱形面积=对角线乘积的一半,即S=(a×b)÷2

67菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形

68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形

69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角,四条边都相等

70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角

71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的

72定理2 关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分

73逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一

点平分,那么这两个图形关于这一点对称

74等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等

75等腰梯形的两条对角线相等

76等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

77对角线相等的梯形是等腰梯形

78平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段

相等,那么在其他直线上截得的线段也相等

79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线,必平分另一腰

80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线,必平分第

三边

81 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边,并且等于它

的一半

82 梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的

一半 L=(a+b)÷2 S=L×h

83 (1)比例的基本性质 如果a:b=c:d,那么ad=bc

如果ad=bc,那么a:b=c:d

84 (2)合比性质 如果a/b=c/d,那么(a±b)/b=(c±d)/d

85 (3)等比性质 如果a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0),那么

(a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b

86 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线,所得的对应

线段成比例

87 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例

88 定理 如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边

89 平行于三角形的一边,并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例

90 定理 平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似

91 相似三角形判定定理1 两角对应相等,两三角形相似(ASA)

92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似

93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似(SAS)

94 判定定理3 三边对应成比例,两三角形相似(SSS)

95 定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三

角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似

96 性质定理1 相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平

分线的比都等于相似比

97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比

98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方

99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值,任意锐角的余弦值等

于它的余角的正弦值

100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值,任意锐角的余切值等

于它的余角的正切值

101圆是定点的距离等于定长的点的集合

102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合

103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合

104同圆或等圆的半径相等

105到定点的距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,定长为半

径的圆

106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹,是着条线段的垂直

平分线

107到已知角的两边距离相等的点的轨迹,是这个角的平分线

108到两条平行线距离相等的点的轨迹,是和这两条平行线平行且距

离相等的一条直线

109定理 不在同一直线上的三点确定一个圆。

110垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧

111推论1 ①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧

②弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧

③平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧

112推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等

113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形

114定理 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦

相等,所对的弦的弦心距相等

115推论 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两

弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等

116定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

117推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等

118推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所

对的弦是直径

119推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形

120定理 圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它

的内对角

121①直线L和⊙O相交 d<r

②直线L和⊙O相切 d=r

③直线L和⊙O相离 d>r

122切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

123切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径

124推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

125推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

126切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,

圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

127圆的外切四边形的两组对边的和相等

128弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角

129推论 如果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等

130相交弦定理 圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积

相等

131推论 如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的

两条线段的比例中项

132切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割

线与圆交点的两条线段长的比例中项

133推论 从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等

134如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上

135①两圆外离 d>R+r ②两圆外切 d=R+r

③两圆相交 R-r<d<R+r(R>r)

④两圆内切 d=R-r(R>r) ⑤两圆内含d<R-r(R>r)

136定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦

137定理 把圆分成n(n≥3):

⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形

⑵经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形

138定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆

139正n边形的每个内角都等于(n-2)×180°/n

140定理 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形

141正n边形的面积Sn=pnrn/2 p表示正n边形的周长

142正三角形面积√3a/4 a表示边长

143如果在一个顶点周围有k个正n边形的角,由于这些角的和应为

360°,因此k×(n-2)180°/n=360°化为(n-2)(k-2)=4

144弧长计算公式:L=n兀R/180

145扇形面积公式:S扇形=n兀R^2/360=LR/2

146内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r)

147完全平方公式:(a+b)^2=a^2+2ab+b^2(a-b)^2=a^2-2ab+b^2

148平方差公式:(a+b)(a-b)=a^2-b^2

(还有一些,大家帮补充吧) 实用工具:常用数学公式 公式分类 公式表达式 乘法与因式分 a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2) 三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b-b≤a≤b |a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a| 一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)/2a -b-√(b2-4ac)/2a 根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注:韦达定理 判别式

b2-4ac=0 注:方程有两个相等的实根

b2-4ac>0 注:方程有两个不等的实根

b2-4ac0

抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py 直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c*h

正棱锥侧面积 S=1/2c*h 正棱台侧面积 S=1/2(c+c)h

圆台侧面积 S=1/2(c+c)l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi*r2

圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积 S=1/2*c*l=pi*r*l 弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式 s=1/2*l*r 锥体体积公式 V=1/3*S*H 圆锥体体积公式 V=1/3*pi*r2h

斜棱柱体积 V=SL 注:其中,S是直截面面积, L是侧棱长

柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=pi*r2h

九年级数学二次函数笔记

九年级数学知识点汇总

第二十一章 二次根式

1、二次根双重非负性 。

2、两个公式: ;

3、二次根式的乘除: ;

4、最简二次根式:⑴被开方数不含分母;⑵被开方数中不含能开的尽方的因数或因式。

5、利用公式: ;

第二十二章 一元二次方程

1、定义:形如: 的方程。

①是整式方程,②未知数的最高次数是二次,③只含有一个未知数,④二次项系数不为零。

2、化一元二次方程的一般形式:按降幂排列,二次项系数为正,右端为零。

3、一元二次方程的根:代入使方程成立。

4、一元二次方程的解法:①配方法;②公式法 ;③因式分解法。

5、一元二次方程的根的判别式: ①当 时,方程有两个不相等的实数根,②当 时,方程有两个相等的实数根,③当 时,方程没有实数根。

注意:应用的前提条件是: 。

一元二次方程根与系数的关系:

注意:应用的前提条件是: 。

7、列方程解应用题:审题设元→列代数式、列方程→整理成一般形式→解方程→检验作答。

第二十三章 旋转

1、 旋转的三要素:旋转中心,旋转方向,旋转角。

2、 旋转的性质:①对应点到旋转中心的距离相等;②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;③旋转前、后的图形全等。关键:找好对应线段、对应角。

3、 中心对称:把一个图形绕着某一点旋转180°,如果它能够与另一个图形重合,那么这两个图形关于这个点对称或中心对称。

4、 中心对称的性质:①关于中心对称的两个图形,对应点所连线段都经过对称中心,而且被对称中心所平分。②关于中心对称的两个图形是全等形。

5、 中心对称图形:把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形。

6、 对称点的坐标规律:

①关于x轴对称:横坐标不变,纵坐标互为相反数,

②关于y轴对称:横坐标互为相反数,纵坐标不变,

③关于原点对称:横坐标、纵坐标都互为相反数。

第二十四章 圆

1、 确定圆的条件:圆心→位置,半径→大小。

2、和圆有关的概念:弦---直径,弧—半圆、优弧、劣弧,圆心角,圆周角,弦心距。

3、圆的对称性:圆既是轴对称图形,又是中心对称图形。

4、垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧。

推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。

5、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,弦的弦心距相等。

引申:在这四组量中,只要有一组量对应相等,其余各组量都相等。

6、圆周角定理:①圆周角等于同弧所对的圆心角的一半,②在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半;相等的圆周角所对的弧相等,③半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径。

7、内心和外心:①内心是三角形内角平分线的交点,它到三角形三边的距离相等。②外心是三角形三边垂直平分线的交点,它到三角形三个顶点的距离相等。

8、直线和圆的位置关系:相交→d<r,相离→d>r,相切→d=r.

9、切线的判定:“有点连圆心”→证垂直。“无点做垂线”→证d=r。切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径。

10、切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

11、圆内接四边形的性质:圆内接四边形的对角互补,每一个外角等于它的内对角。

12、圆外切四边形的性质:圆外切四边形的对边之和相等。

13、圆和圆的位置关系:外离→d>R+r.外切→d=R+r.相交→R-r<d<R+r.内切→d=R-r.内含→d<R-r.

14、正多边形和圆:半径→外接圆的半径,中心角→每一边所对的圆心角,边心距→中心到一边的距离。

15、弧长和扇形面积: . S扇形= .

16、圆锥的侧面积和全面积:圆锥的母线长=扇形的半径,圆锥底面圆周长=扇形弧长,圆锥的侧面积=扇形面积,圆锥的全面积=扇形面积+底面圆面积。

第二十五章 概率初步

1、 三种事件:随机事件、不可能事件、必然事件。

2、 概率:P(A)=p. 0≤P(A)≤1.

3、 古典概率的求法:①列举法(把所有可能结果都表示出来),②列表法,③树形图。

4、 用频率估计概率:根据一个随机发生的事件发生的频率所逐渐稳定到的常数,可以估计这个事件发生的概率。

第二十六章 二次函数

1、 定义:形如y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c是常数)的函数叫二次函数。

2、 二次函数的分类:①y=ax2: 顶点坐标:原点; 对称轴:y轴;

②y=ax2+c: 顶点坐标:(0、c); 对称轴:y轴;

③y=a(x-h)2: 顶点坐标:(h、0); 对称轴:直线x=h;

④y=a(x-h)2+k:顶点坐标:(h、k); 对称轴:直线x=h;

⑤y=ax2+bx+c: 顶点坐标:(-b/2a,4ac-b2/4a);对称轴:直线x=-b/2a

3、a、b、c符号的判定:a:开口方向向上→a>0;开口方向向下→a<0。b:与a左同右异,对称轴在y轴左侧,a、b同号;对称轴在y轴右侧,a、b异号。C:交与y轴正半轴,c>0;交与y轴负半轴,c<0.b2-4ac:与x轴交点的个数,△>0→两个交点,△<0→无交点,△=0→一个交点。

3、 平移规律:“正左负右”“正上负下”。

前提:配方成y=a(x-h)2+k的形式。

4、 待定系数法确定函数关系式:①顶点在原点选y=ax2;

②顶点在y轴选y=ax2+c;

③通过坐标原点选y=ax2+bx;

④知道顶点在x轴上选y=a(x-h)2;

⑤知道顶点坐标选y=a(x-h)2+k;

⑥知道三点的坐标选y=ax2+bx+c。

5、 其他应用:求与x轴的交点→解一元二次方程;与y轴交点为(0、c)。

6、 对称规律:①两抛物线关于x轴对称:a、b、c都变为其相反数。

②两抛物线关于y轴对称:a、c不变,b变为其相反数。

7、 实际问题:利润=销售额-总进价-其他费用,利润=(售价-进价)*销售量-其他费用。

第二十七章 相似

1、 相似形的性质:①相似形对应角相等,对应边的比相等。

②相似形的周长(对应线段的比)比等于相似比。

③相似形面积的比等于相似比的平方。

2、 相似三角形的判定:①平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似。

②三边对应成比例,两三角形相似。

③两边对应成比例夹角相等,两三角形相似。

④两角对应相等,两三角形相似。

3、 相似三角形应用:①盲区。

②坡度:i=tan∝=铅直高度:水平距离。

③影长:在同一时刻,物体的高度与影长成正比,即比值相等。

4、 位似:两个多边形相似,而且对应顶点的连线相交于一点,对应边互相平行,这样的两个多边形叫位似图形。

5、 位似变换:在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为位似中心,相似比为K,那么位似图形对应点的坐标的比等于K或-K。即:把原来的坐标都乘以K或-K。

第二十八章 锐角三角函数

1、 锐角三角函数定义:正弦=对边/斜边,余弦=邻边/斜边,正切=对边/邻边。

2、 特殊角的三角函数值:sin30°=1/2, cos30°=√3/2, tan30°=√3/3Sin45°=√2/2, cos45°=√2/2, tan45°=1Sin60°=√3/2,cos60°=1/2, tan60°=√3

3、公式:sin2A+cos2A=1. sinA=cosB=cos(90°-A) ,cosA=sinB =sin(90°-A).

4、解直角三角形:⑴三边之间:a2+b2=c2

⑵两锐角之间:A+B=90°

⑶sinA=a/c cosA=b/c tanA=a/b

sinB=b/c cosB=a/c tanB=b/a

⑷S△ABC=1/2*ab*sinC (两边及其夹角的正弦的积的一半)

第二十九章 投影与视图

1、投影:平行投影(太阳光、探照灯) (日晷)中心投影(点光源、电灯) (皮影戏)

2、 正投影:投影线垂直于投影面产生的投影。

3、 三视图:⑴位置:左上是主视图,右上是左视图,左下是俯视图。

⑵对齐方式:主视图与俯视图长对正,主视图与左视图高平齐,左视图与俯视图宽相等

九上数学二次函数知识点

初三数学 二次函数 知识点总结

一、二次函数概念:

1.二次函数的概念:一般地,形如(是常数,)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数,而可以为零.二次函数的定义域是全体实数.

2. 二次函数的结构特征:⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量的二次式,的最高次数是2.⑵ 是常数,是二次项系数,是一次项系数,是常数项.

二、二次函数的基本形式

1. 二次函数基本形式:的性质:

a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质向上 轴 时,随的增大而增大;时,随的增大而减小;时,有最小值.向下 轴 时,随的增大而减小;时,随的增大而增大;时,有最大值.2. 的性质:

上加下减。

的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质向上 轴 时,随的增大而增大;时,随的增大而减小;时,有最小值.向下 轴 时,随的增大而减小;时,随的增大而增大;时,有最大值.3. 的性质:左加右减。

的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质向上 X=h 时,随的增大而增大;时,随的增大而减小;时,有最小值.向下 X=h 时,随的增大而减小;时,随的增大而增大;时,有最大值.4. 的性质:

的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质向上 X=h 时,随的增大而增大;时,随的增大而减小;时,有最小值.向下 X=h 时,随的增大而减小;时,随的增大而增大;时,有最大值.三、二次函数图象的平移1. 平移步骤:方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式,确定其顶点坐标;⑵ 保持抛物线的形状不变,将其顶点平移到处,具体平移方法如下:2. 平移规律在原有函数的基础上“值正右移,负左移;值正上移,负下移”.

概括成八个字“左加右减,上加下减”.方法二:

⑴沿轴平移:向上(下)平移个单位,变成

(或)

⑵沿轴平移:向左(右)平移个单位,变成(或)四、二次函数与的比较从解析式上看,与是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即,其中.五、二次函数图象的画法

五点绘图法:利用配方法将二次函数化为顶点式,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点,(若与轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点).画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与轴的交点,与轴的交点.六、二次函数的性质1. 当时,抛物线开口向上,对称轴为,顶点坐标为.

当时,随的增大而减小;当时,随的增大而增大;当时,有最小值.2. 当时,抛物线开口向下,对称轴为,顶点坐标为.当时,随的增大而增大;当时,随的增大而减小;当时,有最大值.七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式:(,,为常数,);2. 顶点式:(,,为常数,);3. 两根式:(,,是抛物线与轴两交点的横坐标).

注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与轴有交点,即时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数二次函数中,作为二次项系数,显然.⑴ 当时,抛物线开口向上,的值越大,开口越小,反之的值越小,开口越大;⑵ 当时,抛物线开口向下,的值越小,开口越小,反之的值越大,开口越大.决定了抛物线开口的大小和方向,的正负决定开口方向,的大小决定开口的大小.2. 一次项系数在二次项系数确定的前提下,决定了抛物线的对称轴.⑴ 在的前提下,当时,,即抛物线的对称轴在轴左侧;当时,,即抛物线的对称轴就是轴;当时,,即抛物线对称轴在轴的右侧.⑵ 在的前提下,结论刚好与上述相反,即当时,,即抛物线的对称轴在轴右侧;当时,,即抛物线的对称轴就是轴;当时,,即抛物线对称轴在轴的左侧.在确定的前提下,决定了抛物线对称轴的位置.的符号的判定:对称轴在轴左边则,在轴的右侧则,概括的说就是“左同右异”

3. 常数项⑴ 当时,抛物线与轴的交点在轴上方,即抛物线与轴交点的纵坐标为正;⑵ 当时,抛物线与轴的交点为坐标原点,即抛物线与轴交点的纵坐标为;⑶ 当时,抛物线与轴的交点在轴下方,即抛物线与轴交点的纵坐标为负.决定了抛物线与轴交点的位置.只要都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的.二次函数解析式的确定:根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便.有如下几种情况:1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式;2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式;3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式;4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式.九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达1. 关于轴对称关于轴对称后,得到的解析式是; 关于轴对称后,得到的解析式是;2. 关于轴对称关于轴对称后,得到的解析式是; 关于轴对称后,得到的解析式是;3. 关于原点对称关于原点对称后,得到的解析式是;关于原点对称后,得到的解析式是;4. 关于顶点对称(即:抛物线绕顶点旋转180°)关于顶点对称后,得到的解析式是;关于顶点对称后,得到的解析式是.5. 关于点对称 关于点对称后,得到的解析式是根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适的形式,习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式.十、二次函数与一元二次方程:

1. 二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与轴交点情况):一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.图象与轴的交点个数:

① 当时,图象与轴交于两点,其中的是一元二次方程的两根.这两点间的距离. ② 当时,图象与轴只有一个交点; ③ 当时,图象与轴没有交点.当时,图象落在轴的上方,无论为任何实数,都有;当时,图象落在轴的下方,无论为任何实数,都有.

2. 抛物线的图象与轴一定相交,交点坐标为,;

3. 二次函数常用解题方法⑴ 求二次函数的图象与轴的交点坐标,需转化为一元二次方程;⑵ 求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式;

⑶ 根据图象的位置判断二次函数中,,的符号,或由二次函数中,,的符号判断图象的位置,要数形结合;

⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标.

⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式,二次三项式本身就是所含字母的二次函数;下面以时为例,揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系:抛物线与轴有两个交点 二次三项式的值可正、可零、可负 一元二次方程有两个不相等实根抛物线与轴只有一个交点 二次三项式的值为非负 一元二次方程有两个相等的实数根抛物线与轴无交点 二次三项式的值恒为正 一元二次方程无实数根.十一、函数的应用

二次函数应用

关于本次九上数学二次函数知识点九年级数学二次函数笔记的问题分享到这里就结束了,如果解决了您的问题,我们非常高兴。