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高等数学极限运算法则是数学中的重要概念,它为我们在求解极限过程中提供了一些有用的定理和公式。本文将介绍其中两个重要的公式。

高等数学极限运算法则两个重要公式(高等数学极限运算法则)

第一个公式是极限的四则运算法则。设函数f(x)和g(x)在某一点a的某个去心邻域内有定义,且当x趋近于a时,f(x)和g(x)均趋于有限极限L和M。那么有以下

1. 两个函数的和的极限等于各自极限的和:lim(x→a) [f(x) + g(x)] = L + M;

2. 两个函数的差的极限等于各自极限的差:lim(x→a) [f(x) - g(x)] = L - M;

3. 两个函数的积的极限等于各自极限的乘积:lim(x→a) [f(x) * g(x)] = L * M;

4. 两个函数的商的极限等于各自极限的商(前提是M不等于0):lim(x→a) [f(x) / g(x)] = L / M。

这些公式在求解复杂的极限问题时非常有用,可以简化计算过程,提高准确性和效率。

第二个公式是极限的复合函数运算法则。设函数f(x)在某一点a的某个去心邻域内有定义,当x趋近于a时,f(x)趋于有限极限L。如果g(x)在L的某个去心邻域内有定义,并且当x趋近于L时,g(x)趋近于有限极限M。那么复合函数g[f(x)]在x趋近于a时,也趋近于M。

这个公式允许我们在求解复杂函数的极限时,将其分解为若干个简单函数的极限。通过研究这些简单函数的极限,我们可以得出复合函数的极限。这样做可以简化计算过程,使得极限求解更加方便快捷。

高等数学极限运算法则的两个重要公式——极限的四则运算法则和极限的复合函数运算法则,为我们在求解极限问题时提供了重要的指导和工具。它们可以帮助我们简化计算,提高准确性和效率,使得数学求解更加方便和可行。掌握和运用这些公式对于学好高等数学、理解极限概念是非常重要的。

高等数学极限运算法则两个重要公式(高等数学极限运算法则)

极限的概念,不同于一般的常数运算,

那么极限的运算法则呢?

下面给大家简单的介绍下!

极限的运算法则,道理就和加减乘除一样。极限有哪些运算法则

两个(有限个)无穷小的和是无穷小, 可以想像一下,无穷小的极限是0, 那么0+0=0,所以同样的无穷小的和,最后也是趋向于0, 就是一个无穷小。 所以使用归纳法可以证明,有限个的无穷小的和也是无穷小。有界函数乘以无穷小是无穷小, 可以想像一下,无穷小的极限是0, 那么0*N=0, 公式为 uα=ε u 为常数如果两个函数的极限是常数A和B, 那么就可以加减乘除, 除法的时候,例如A/B,那么B不能为0.如果两个数列的极限是常数A和B, 那么同样的也可以加减乘除, 除法的时候,例如A/B,那么B不能为0.判断极限大小 如果两个函数φ(x) =ψ(x), 两个对应的极限A和B的关系也是A=B.复合函数的极限, 例如y=f(g(x))这个复合函数, 那么其对应的函数f(u) 和g(x)在x=x0的时候,对应的u0=g(x0) 有极限,那么符合函数也就有极限 这个也很好理解

高等数学极限运算法则例题

1、本题是无穷大乘以无穷小型不定式;

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2、解答方法用到三个步骤:

A、分子有理化;

B、化无穷大计算为无穷小计算;

C、无穷小直接用0代入。

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3、具体解答如下,如有疑问,欢迎追问,有问必答。

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4、极限计算方法五花八门,下面提供的另外十张图片,提供给楼主极限计算方法,跟具体示例。这些方法应付一般的花拳绣腿的考研绰绰有余。

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5、所有的图片,均可点击放大,放大后图片更加清晰。

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高等数学极限运算法则两个重要公式

高等数学两个重要极限公式如下:

1、第一个重要极限的公式:

lim sinx/x=1(x->0)当x→0时,sin/x的极限等于1。

特别注意的是x→∞时,1/x是无穷小,根据无穷小的性质得到的极限是0。

2、第二个重要极限的公式:

lim(1+1/x)^x=e(x→∞)当x→∞时,(1+1/x)^x的极限等于e;或当x→0时,(1+x)^(1/x)的极限等于e。

数学中的“极限”指:某一个函数中的某一个变量,此变量在变大(或者变小)的永远变化的过程中,逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”。极限的求法:

对于被考察的未知量,先设法正确地构思一个与它的变化有关的另外一个变量,确认此变量通过无限变化过程的’影响‘趋势性结果就是非常精密的约等于所求的未知量;用极限原理就可以计算得到被考察的未知量的结果。

1、连续初等函数,在定义域范围内求极限,可以将该点直接代入得极限值,因为连续函数的极限值就等于在该点的函数值。

2、利用恒等变形消去零因子(针对于0/0型)。

3、利用无穷大与无穷小的关系求极限。

4、利用无穷小的性质求极限。

5、利用等价无穷小替换求极限,可以将原式化简计算。

6、利用两个极限存在准则,求极限,有的题目也可以考虑用放大缩小,再用夹逼定理的方法求极限。

高等数学极限运算法则例题及解答

1. 代入法, 分母极限不为零时使用。先考察分母的极限,分母极限是不为零的常数时即用此法。

【例1】lim[x√3](x^2-3)/(x^4+x^2+1)

解:lim[x√3](x^2-3)/(x^4+x^2+1)

=(3-3)/(9+3+1)=0

【例2】lim[x0](lg(1+x)+e^x)/arccosx

解:lim[x0](lg(1+x)+e^x)/arccosx

=(lg1+e^0)/arccos0

=(0+1)/1

=1

2. 倒数法,分母极限为零,分子极限为不等于零的常数时使用。

【例3】 lim[x1]x/(1-x)

解:∵lim[x1] (1-x)/x=0 ∴lim[x1] x/(1-x)= ∞

以后凡遇分母极限为零,分子极限为不等于零的常数时,可直接将其极限写作∞。

3. 消去零因子(分解因式)法,分母极限为零,分子极限也为零,且可分解因式时使用。

【例4】 lim[x1](x^2-2x+1)/(x^3-x)

解:lim[x1](x^2-2x+1)/(x^3-x)

=lim[x1](x-1)^2/[x(x^2-1)

=lim[x1](x-1)/x

=0

【例5】lim[x-2](x^3+3x^2+2x)/(x^2-x-6)

解:lim[x-2] (x^3+3x^2+2x)/(x^2-x-6)

= lim[x-2]x(x+1)(x+2)/[(x+2)(x-3)]

= lim[x-2]x(x+1) / (x-3)

=-2/5

【例6】lim[x1](x^2-6x+8)/(x^2-5x+4)

解:lim[x1](x^2-6x+8)/(x^2-5x+4)

= lim[x1](x-2)(x-4)/[(x-1)(x-4)]

= lim[x1](x-2) /[(x-1)

=∞

【例7】lim[h0][(x+k)^3-x^3]/h

解:lim[h0][(x+h)^3-x^3]/h

= lim[h0][(x+h) –x][(x+h)^2+x(x+h)+h^2]/h

= lim[h0] [(x+h)^2+x(x+h)+h^2]

=2x^2

这实际上是为将来的求导数做准备。

4. 消去零因子(有理化)法,分母极限为零,分子极限也为零,不可分解,但可有理化时使用。可利用平方差、立方差、立方和进行有理化。

【例8】lim[x0][√1+x^2]-1]/x

解:lim[x0][√1+x^2]-1]/x

= lim[x0][√1+x^2]-1] [√1+x^2]+1]/{x[√1+x^2]+1]}

= lim[x0][ 1+x^2-1] /{x[√1+x^2]+1]}

= lim[x0] x / [√1+x^2]+1]

=0

【例9】lim[x-8][√(1-x)-3]/(2+x^(1/3))

解:lim[x-8][√(1-x)-3]/(2+x^(1/3))

=lim[x-8][√(1-x)-3] [√(1-x)+3] [4-2x^(1/3)+x^(2/3)]

÷{(2+x^(1/3))[4-2x^(1/3)+x^(2/3)] [√(1-x)+3]}

=lim[x-8](-x-8) [4-2x^(1/3)+x^(2/3)]/{(x+8)[√(1-x)+3]}

=lim[x-8] [4-2x^(1/3)+x^(2/3)]/[√(1-x)+3]

=-2

5. 零因子替换法。利用第一个重要极限:lim[x0]sinx/x=1,分母极限为零,分子极限也为零,不可分解,不可有理化,但出现或可化为sinx/x时使用。常配合利用三角函数公式。

【例10】lim[x0]sinax/sinbx

解:lim[x0]sinax/sinbx

= lim[x0]sinax/(ax)*lim[x0]bx/sinbx*lim[x0]ax/(bx)

=1*1*a/b=a/b

【例11】lim[x0]sinax/tanbx

解:lim[x0]sinax/tanbx

= lim[x0]sinax/ sinbx*lim[x0]cosbx

=a/b

6. 无穷转换法,分母、分子出现无穷大时使用,常常借用无穷大和无穷小的性质。

【例12】lim[x∞]sinx/x

解:∵x∞ ∴1/x是无穷小量

∵|sinx|∞]sinx/x=0

【例13】lim[x∞](x^2-1)/(2x^2-x-1)

解:lim[x∞](x^2-1)/(2x^2-x-1)

= lim[x∞](1 -1/x^2)/(2-1/x-1/ x^2)

=1/2

【例14】lim[n∞](1+2+……+n)/(2n^2-n-1)

解:lim[n∞](1+2+……+n)/(2n^2-n-1)

=lim[n∞][n( n+1)/2]/(2n^2-n-1)

=lim[n∞][ (1+1/n)/2]/(2-1/n-1/n^2)

=1/4

【例15】lim[x∞](2x-3)^20(3x+2)^30/(5x+1)^50

解:lim[x∞](2x-3)^20(3x+2)^30/(5x+1)^50

= lim[x∞][(2x-3)/ (5x+1)]^20[(3x+2)/ (5x+1)]^30

= lim[x∞][(2-3/x)/ (5+1/ x)]^20[(3+2/ x)/ (5+1/ x)]^30

=(2/5)^20(3/5)^30=2^20*3^30/5^50

高等数学向量运算法则

计算过程如下:

设a=(X1,Y1,Z1),b=(X2,Y2,Z2)

a×b=(Y1Z2-Y2Z1,Z1X2-Z2X1,X1Y2-X2Y1)

(1,2,3)×(4,5,6)=(12-15,12-6,5-8)=(-3,6,-3)向量的叉乘运算法则为|向量c|=|向量a×向量b|=|a

向量的外积不遵守乘法交换率,因为向量a×向量b=-向量b×向量a。

|向量c|=|向量a×向量b|=|a||b|sin

向量c的方向与a,b所在的平面垂直,且方向要用“右手法则”判断(用右手的四指先表示向量a的方向,然后手指朝着手心的方向摆动到向量b的方向,大拇指所指的方向就是向量c的方向)。

向量的外积不遵守乘法交换率,因为向量a×向量b=-向量b×向量a。

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