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高中数学知识点归纳大全(高中数学抛物线知识点归纳)

高中数学知识点归纳大全(高中数学抛物线知识点归纳)

抛物线是高中数学中的重要知识点之一,它不仅在数学中有重要的应用,也在其他学科中起着重要的作用。在高中数学中,抛物线的知识点主要包括抛物线的定义、性质、图像、解析式以及与其他函数的关系等内容。

抛物线可以用平面解析几何中的二次方程表示。给定抛物线的顶点坐标(h,k)和抛物线开口的方向,我们可以得到抛物线的解析式为y = ax² + bx + c。a表示抛物线的开口方向和形状,正值表示向上开口,负值表示向下开口;b表示抛物线在x方向上的平移,c表示抛物线在y方向上的平移。

抛物线的图像具有一些特点。抛物线的轴对称线是经过顶点的直线,对称轴的方程可以表示为x = h。抛物线的顶点即为对称轴与抛物线交点的坐标(h,k)。我们还可以根据抛物线的解析式来确定抛物线的开口方向、形状以及顶点等信息。

抛物线与其他函数之间也存在一些重要的关系。我们可以将抛物线的解析式与直线的解析式进行对比,得到二次方程与一次方程之间的关系。在求解抛物线方程的过程中,我们还会用到一些二次方程的求根公式和配方法。

在高中数学中,抛物线还有一些重要的应用。在物理学中,抛物线的形状与抛射物的运动轨迹密切相关;在经济学中,抛物线可以用来描述成本、收益等与产量之间的关系;在工程学中,抛物线也常用于建筑设计中的拱形结构等。

高中数学中抛物线是一个重要的知识点,它不仅具有一定的理论意义,还有广泛的应用。了解和掌握抛物线的相关知识,对于学生提高数学素养和解决实际问题都具有重要的帮助。通过学习抛物线的定义、性质、图像、解析式以及与其他函数的关系等内容,我们可以更好地理解和应用抛物线,为未来的学习和生活打下坚实的数学基础。

高中数学知识点归纳大全(高中数学抛物线知识点归纳)

高中数学抛物线的基本知识点如下:

1、定系数法:根据条件设出标准方程,再确定参数p的值,这里要注意抛物线标准方程有四种形式。从简单化角度出发,焦点在x轴的,设为y2=ax(a≠0),焦点在y轴的,设为x2=by(b≠0)。

2、单位长度的规定:一般情况下横轴、纵轴单位长度相同;实际有时也可不同,但同一数轴上必须相同。3、由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2pxy^2=-2pxx^2=2pyx^2=-2py。

4、对于平面内任意一点C,过点C分别向X轴、Y轴作垂线,垂足在X轴、Y轴上的.对应点a,b分别叫做点C的横坐标、纵坐标,有序实数对(a,b)叫做点C的坐标。

5、公因式:一个多项式每项都含有的公共的因式,叫做这个多项式各项的公因式。

高中数学抛物线知识点归纳总结

1.抛物线切线定理

抛物线上任意点P,其在准线上的射影为M,抛物线焦点为F,则过P点的切线平分∠MPF。

2.抛物线切线方程

过抛物线上一点P(x0,y0)的的切线方程为:y0y=p(x+x0)

3.抛物线切点弦方程

过抛物线外一点P(x0,y0),做抛物线上的两条切线,切点为A,B,则过A,B的切点弦方程为:y0y=p(x+x0)

4.焦点弦性质

性质1:以焦点弦为直径的圆与准线相切。

性质2:以焦点弦在准线上的射影为直径的圆与焦点弦相切。

5.切点弦性质

性质1:准线上的点形成的切点弦过焦点。

性质2:做抛物线外一点的切点弦,如果过焦点,则此点必在准线上。

高中数学抛物线的基本知识点

抛物线:1、定义平面内,到一个定点F和一条定直线l距离相等的点的轨迹(或集合)称之为抛物线.另外,F称为"抛物线的焦点",l称为"抛物线的准线".定义焦点到抛物线的准线的距离为"焦准距",用p表示.p>0.以平行于地面的方向将切割平面插入一个圆锥,可得一个圆,如果倾斜这个平面直至与其一边平行,就可以做一条抛物线.2.抛物线的标准方程右开口抛物线:y^2=2px左开口抛物线:y^2=-2px上开口抛物线:y=x^2/2p下开口抛物线:y=-x^2/2p3.抛物线相关参数(对于向右开口的抛物线)离心率:e=1焦点:(p/2,0)准线方程l:x=-p/2顶点:(0,0)4.它的解析式求法:三点代入法5.抛物线的光学性质:经过焦点的光线经抛物线反射后的光线平行抛物线的对称轴. 6、其他抛物线:y = ax* + bx + c 就是y等于ax 的平方加上 bx再加上 c a > 0时开口向上 a 0,b>0.a、b中较大者为椭圆长半轴长,较短者为短半轴长(椭圆有两条对称轴,对称轴被椭圆所截,有两条线段,它们分别叫椭圆的长半轴和短半轴)当a>b时,焦点在x轴上,焦距为2*(a^2-b^2)^0.5,准线方程是x=a^2/c和x=-a^2/c椭圆的面积是πab.椭圆可以看作圆在某方向上的拉伸,它的参数方程是:x=acosθ , y=bsinθ 公式椭圆的面积公式S=π(圆周率)×a×b(其中a,b分别是椭圆的长半轴,短半轴的长).或S=π(圆周率)×A×B/4(其中A,B分别是椭圆的长轴,短轴的长).椭圆的周长公式椭圆周长没有公式,有积分式或无限项展开式. 椭圆周长(L)的精确计算要用到积分或无穷级数的求和.如 L = 4a * sqrt(1-e^sin^t)的(0 - pi/2)积分, 其中a为椭圆长轴,e为离心率椭圆的离心率公式e=c/a椭圆的准线方程x=+-a^2/C椭圆焦半径公式椭圆过右焦点的半径r=a-ex 过左焦点的半径r=a+ex 相关性质由于平面截圆锥(或圆柱)得到的图形有可能是椭圆,所以它属于一种圆锥截线.例如:有一个圆柱,被截得到一个截面,下面证明它是一个椭圆(用上面的第一定义):将两个半径与圆柱半径相等的半球从圆柱两端向中间挤压,它们碰到截面的时候停止,那么会得到两个公共点,显然他们是截面与球的切点.设两点为F1、F2对于截面上任意一点P,过P做圆柱的母线Q1、Q2,与球、圆柱相切的大圆分别交于Q1、Q2则PF1=PQ1、PF2=PQ2,所以PF1+PF2=Q1Q2由定义1知:截面是一个椭圆,且以F1、F2为焦点用同样的方法,也可以证明圆锥的斜截面(不通过底面)为一个椭圆双曲线:定义数学上指一动点移动于一个平面上,与平面上两个定点的距离的差的绝对值始终为一定值时所成的轨迹叫做双曲线(Hyperbola).两个定点叫做双曲线的焦点(focus).● 双曲线的第二定义:到定点的距离与到定直线的距离之比=e , e∈(1,+∞)·双曲线的标准方程为(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2,动点与两个定点之差的绝对值为定值2a·双曲线的参数方程为:x=X+a·secθy=Y+b·tanθ(θ为参数)·几何性质:1、取值区域:x≥a,x≤-a2、对称性:关于坐标轴和原点对称.3、顶点:A(-a,0) A’(a,0) AA’叫做双曲线的实轴,长2a;B(0,-b) B’(0,b) BB’叫做双曲线的虚轴,长2b.4、渐近线:y=±(b/a)x5、离心率:e=c/a 取值范围:(1,+∞)6 双曲线上的一点到定点的距离和到定直线的距离的比等于双曲线的离心率7 双曲线焦半径公式:圆锥曲线上任意一点到焦点距离. 8 等轴双曲线 双曲线的实轴与虚轴长相等2a=2b e=√29 共轭双曲线 (x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 与 (y^2/b^2)-(x^2/a^2)=1 叫等轴双曲线 (1)共渐近线 (2)e1+e2>=2√2 双曲线的标准公式为:X^2/a^2 - Y^2/b^2 = 1(a>0,b>0) 而反比例函数的标准型是 xy = c (c > 0) 但是反比例函数确实是双曲线函数经过旋转得到的,可以设旋转的角度为 a (a>0) (a为双曲线渐进线的倾斜角)则有 X = xcosa + ysina Y = xcosa - ysina X^2 - Y^2 = (xcosa+ysina)^2 -(xcosa - ysina)^2 = 4xy(cosasina) = 4c(cosasina) 所以 X^2/4c(cosasina) - Y^2/4c(cosasina) = 1 (4c(cosasina)>0) Y^2/(-4c(cosasina)) - X^2/(-4c(cosasina)) = 1 (4c(cosasina)<0) 由此证得,反比例函数其实就是双曲线函数

高中数学选修一抛物线知识点

高中数学选修1-1《抛物线》教案【一】 教学准备 教学目标 教学目标:1.抛物线的定义 2.抛物线的四种标准方程形式及其对应焦点和准线 教学重难点 教学重点:1.抛物线的定义和焦点与准线 2.抛物线的四种标准形式,以及p的意义。 教学难点:抛物线的四种图形,标准方程的推导及其焦点坐标和准线方程。 教学过程 教学过程: 一、 知识回顾: 二次函数中抛物线的图象特征是什么?(平行于y轴,开口向上或者向下) 如果抛物线不平行于y轴,那么就不能作为二次函数的图象来研究了,今天我们来突破研究中的限制,从一般意义上来研究抛物线。 二、 课堂新授: (讲解抛物线的作图方法) 定义:平面内与一个定点F和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线。 如图建立直角坐标系xOy,使x轴经过点F且垂直于直线l ,垂足为K,并使原点与线段 KF的中点重合。 结合表格完成下列例题: 1. 已知抛物线的标准方程是 y2=6x,求它的焦点坐标和准线方程。 2. 已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2),求它的标准方程。 解:1.∵抛物线的方程是 y2=6x, ∴p=3 ∴焦点坐标是(,0), 准线方程是x=- 2.∵焦点在y轴的负半轴上,且, ∴p=4 ∴所求的抛物线标准方程是 x2=-8y。 一、 随堂练习: 1.根据下列条件写出抛物线的标准方程: 一、 课堂小结: 由于抛物线的标准方程有四种形式,且每一种形式都只含有一个参数p,因此只要给出确定的p的一个条件就可以求出抛物线的标准方称。当抛物线的焦点坐标或准线方程给定以后,它的标准方程就可以唯一的确定下来。 五、课后作业:P119 习题8.5 2、4   高中数学选修1-1《抛物线》教案【二】 教学目的: 1.使学生掌握抛物线的定义,标准方程及其推导过程; 2.根据定义画出抛物线的草图 3.使学生能熟练地运用坐标,进一步提高学生“应用数学”的水平 教学重点:抛物线的定义 教学难点:抛物线标准方程的不同形式 学法指导:自主高效的预习,能够发现问题和提出问题,善于独立思考,学会分析问题和创造地解决问题;培养同学们的抽象概括能力和逻辑思维能力 预习内容: 温故迎新: 1.二次函数的一般形式是什么?它有几种形式? 2二次函数的图像如何?: 动手操作把一根直尺固定在图板上直线L位置,把一块三角板的一条直角边紧靠着真心直尺的边缘,再把一条细绳的一端固定在三角板的另一条直角边的一点A,取绳长等于点A到直角标顶点C的长(即点A到直线L的距离),并且把绳子的另一端固定在图板上的一点F 用铅笔尖扣着绳子,使点A到笔尖的一段绳子紧靠着三角板,然后将三角板沿着直尺上下滑动,笔尖就在图板上描出了一条曲线 感受新知:阅读p33-34; 1如何理解抛物线的定义? 2.感受抛物线标准方程的推导过程 3观察图2-13如何用数学语言加以描述? 4. 二次函数与本节研究抛物线有什么样的关系? 课堂探究案 探究点一: 抛物线定义: 平面内与一个定点F和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点F叫做抛物线的焦点,定直线叫做抛物线的准线 探究点二:推导抛物线的标准方程: 如图所示,建立直角坐标系系,设|KF|=(>0),那么焦点F的坐标为,准线的方程为, 设抛物线上的点M(x,y),则有 化简方程得 方程叫做抛物线的标准方程 (1)它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上,焦点坐标是F(,0),它的准线方程是 (2)一条抛物线,由于它在坐标系的位置不同,方程也不同,有四种不同的情况,所以抛物线的标准方程还有其他几种形式:,,.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下 如图所示,分别建立直角坐标系,设出|KF|=(>0),则抛物线的标准方程如下: (1), 焦点:,准线: (2), 焦点:,准线: (3), 焦点:,准线: (4) , 焦点:,准线: 相同点:(1)抛物线都过原点;(2)对称轴为坐标轴;(3)准线都与对称轴垂直,垂足与焦点在对称轴上关于原点对称 它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的,即 不同点:(1)图形关于X轴对称时,X为一次项,Y为二次项,方程右端为、左端为;图形关于Y轴对称时,X为二次项,Y为一次项,方程右端为,左端为 (2)开口方向在X轴(或Y轴)正向时,焦点在X轴(或Y轴)的正半轴上,方程右端取正号;开口在X轴(或Y轴)负向时,焦点在X轴(或Y轴)负半轴时,方程右端取负号 点评:(1)建立坐标系是坐标法的思想基础,但不同的建立方式使所得的方程繁简不同,布置学生自己写出推导过程并与课文对照可以培养学生动手能力、自学能力,提高教学效果 ,进一步明确抛物线上的点的几何意义 (2)猜想是数学问题解决中的一类重要方法,请同学们根据推导出的(1)的标准方程猜想其它几个非常有利于培养学生归纳推理或类比推理的能力,帮助他们形成良好的直觉思维—数学思维的一种基本形式 另外让学生推导和猜想出抛物线标准方程所有的四种形式,也比老师直接写出这些方程给学生带来的理解和记忆的效果更好 (3)对四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程进行完整的归纳小结,让学生通过对比分析全面深刻地理解和掌握它们 探究点三: p34例1 课堂检测案 1.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程 (1)y2=8x (2)x2=4y (3)2y2+3x=0 (4) 2.根据下列条件写出抛物线的标准方程 (1)焦点是F(-2,0) (2)准线方程是 (3)焦点到准线的距离是4,焦点在y轴上 (4)经过点A(6,-2) 3.抛物线x2=4y上的点p到焦点的距离是10,求p点坐标 课后作业案 课外练习:p35练习1,2,3,4 正式作业:p37习题2-2A组2,3 补充作业: 1 (1)已知抛物线标准方程是,求它的焦点坐标和准线方程 (2)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2),求它的标准方程 2. 已知抛物线的标准方程是(1)y2=12x,(2)y=12x2,求它的焦点坐标和准线方程. 3 求满足下列条件的抛物线的标准方程: (1)焦点坐标是F(-5,0) (2)经过点A(2,-3)

高中数学知识点归纳大全

01高中数学是全国高中生学习的一门学科。包括《集合与函数》《三角函数》《不等式》《数列》《立体几何》《平面解析几何》等部分, 高中数学主要分为代数和几何两大部分。代数主要是一次函数,二次函数,反比例函数和三角函数。几何又分为平面解析几何和立体几何两大部分。 一、 集合(1)集合的含义与表示1通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系。2能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用。(2)集合间的基本关系1理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集。2在具体情境中,了解全集与空集的含义。(3)集合的基本运算1理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集。2理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集。3能使用Venn图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用。 函数概念与基本初等函数:(1)函数1进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型,在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中的作用;了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念。2在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数。3了解简单的分段函数,并能简单应用。4通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义;结合具体函数,了解奇偶性的含义。5学会运用函数图象理解和研究函数的性质(参见例1)。(2)指数函数1(细胞的分裂,考古中所用的C的衰减,药物在人体内残留量的变化等),了解指数函数模型的实际背景。2理解有理指数幂的含义,通过具体实例了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算。3理解指数函数的概念和意义,能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点。4在解决简单实际问题的过程中,体会指数函数是一类重要的函数模型。(3)对数函数1理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数;通过阅读材料,了解对数的产生历史以及对简化运算的作用。2通过具体实例,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数的概念,体会对数函数是一类重要的函数模型;能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点。3知道指数函数 与对数函数 互为反函数(a>0,a≠1)。(4)幂函数通过实例,了解幂函数的概念;结合函数 的图象,了解它们的变化情况。(5)函数与方程1结合二次函数的图象,判断一元二次方程根的存在性及根的个数,从而了解函数的零点与方程根的联系。2根据具体函数的图象,能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解,了解这种方法是求方程近似解的常用方法。(6)函数模型及其应用1利用计算工具,比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异;结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。2收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等)的实例,了解函数模型的广泛应用。 二、三角函数(1)任意角、弧度了解任意角的概念和弧度制,能进行弧度与角度的互化。(2)三角函数1借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义。2借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式( 的正弦、余弦、正切),能画出 的图象,了解三角函数的周期性。3借助图象理解正弦函数、余弦函数在 ,正切函数在 上的性质(如单调性、最大和最小值、图象与x轴交点等)。4理解同角三角函数的基本关系式:5结合具体实例,了解 的实际意义;能借助计算器或计算机画出 的图象,观察参数A,ω, 对函数图象变化的影响。6会用三角函数解决一些简单实际问题,体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。 三、数列(1)数列的概念和简单表示法了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式),了解数列是一种特殊函数。(2)等差数列、等比数列1理解等差数列、等比数列的概念。2探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和的公式。3能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系或等比关系,并能用有关知识解决相应的问题(参见例1)。4体会等差数列、等比数列与一次函数、指数函数的关系。 四、不等式(1)不等关系感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,了解不等式(组)的实际背景。(2)一元二次不等式1经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程。2通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系。3会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,尝试设计求解的程序框图。(3)二元一次不等式组与简单线性规划问题1从实际情境中抽象出二元一次不等式组。2了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组。3从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决(。(4)基本不等式:1探索并了解基本不等式的证明过程。2会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题。 五、立体几何初步(1)空间几何体1利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形,认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。2能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述的三视图所表示的立体模型,会使用材料(如纸板)制作模型,会用斜二侧法画出它们的直观图。3通过观察用两种方法(平行投影与中心投影)画出的视图与直观图,了解空间图形的不同表示形式。4完成实习作业,如画出某些建筑的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上,尺寸、线条等不作严格要求)。5了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式)。(2)点、线、面之间的位置关系1借助长方体模型,在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上,抽象出空间线、面位置关系的定义,并了解如下可以作为推理依据的公理和定理。公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内。公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。公理4:平行于同一条直线的两条直线平行。定理:空间中如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。2以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点,通过直观感知、操作确认、思辨论证,认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定。操作确认,归纳出以下判定定理。平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,则该直线与此平面垂直。一个平面过另一个平面的垂线,则两个平面垂直。操作确认,归纳出以下性质定理,并加以证明。一条直线与一个平面平行,则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行。两个平面平行,则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行。垂直于同一个平面的两条直线平行。两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。3能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。 平面解析几何初步:(1)直线与方程1在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素。2理解直线的倾斜角和斜率的概念,经历用代数方法刻画直线斜率的过程,掌握过两点的直线斜率的计算公式。3能根据斜率判定两条直线平行或垂直。4根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),体会斜截式与一次函数的关系。5能用解方程组的方法求两直线的交点坐标。6探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离。(2)圆与方程1回顾确定圆的几何要素,在平面直角坐标系中,探索并掌握圆的标准方程与一般方程。2能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆、圆与圆的位置关系。3能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。(3)在平面解析几何初步的学习过程中,体会用代数方法处理几何问题的思想。(4)空间直角坐标系1通过具体情境,感受建立空间直角坐标系的必要性,了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标系刻画点的位置。2通过表示特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标,探索并得出空间两点间的距离公式。

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