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高中数学求数列通项的常用方法,数列求通项的七种方法及例题

高中数学求数列通项的常用方法,数列求通项的七种方法及例题

在高中数学中,数列是一个非常重要的概念。而数列的通项就是数列中每一项的一般表示式。求解数列的通项,可以帮助我们更好地理解和掌握数列的规律,进而应用到更复杂的数学问题中。下面将介绍数列求通项的常用方法和七种具体的例题。

1.递推法:根据数列中相邻项之间的关系,通过给出的初始条件求解通项。例如:已知数列的前两项为1和2,且后一项是前一项的2倍加1,求该数列的通项。

2.差法:通过数列的相邻项之间的差值,推导出通项表达式。例如:已知数列的公差为3,且第一项为4,求该数列的通项。

3.比值法:通过数列的相邻项之间的比值,推导出通项表达式。例如:已知数列的公比为2,且第一项为3,求该数列的通项。

4.奇偶法:通过数列的位置的奇偶性来确定通项表达式。例如:已知数列的第一项为1,且第奇数项是前一项的3倍,第偶数项是前一项的2倍,求该数列的通项。

5.二项式定理法:通过利用二项式定理将数列展开,求解通项。例如:已知数列的前三项为1、3、5,求该数列的通项。

6.数列特征法:通过观察数列的特征和规律,构造通项表达式。例如:已知数列的第一项为1,且第n项等于前一个数的平方加1,求该数列的通项。

7.递归法:通过递归关系式求解通项表达式。例如:已知数列的第一项为1,且第n项等于前一项的平方加1,求该数列的通项。

通过以上七种方法,我们可以灵活地求解数列的通项。在实际问题中,有时候会用到一些特殊的方法,但这七种方法是我们在考试和课堂中最常用的。通过不断练习和思考,我们可以更好地掌握这些方法,并在解决数学问题中发挥它们的功效。

例题:已知数列的前两项是1和2,且后一项是前一项的2倍加1,求该数列的通项。

解:使用递推法,设数列的通项为an。根据题意,an = 2 * an-1 + 1。而已知的前两项是1和2,代入递推式可以得到:

a1 = 2 * a1-1 + 1 = 2 * a0 + 1 = 2 * 1 + 1 = 3

a2 = 2 * a2-1 + 1 = 2 * a1 + 1 = 2 * 3 + 1 = 7

由此可得数列的通项为an = 2 * an-1 + 1。

高中数学求数列通项的常用方法,数列求通项的七种方法及例题

数列通项公式是高中数学的重点与难点,那么数列通项公式的有什么求解方法呢?下面由我告诉你答案。高中数学数列通项公式的求法总结 一、一阶线性递推数列求通项问题一阶线性递推数列主要有如下几种形式:1.这类递推数列可通过累加法而求得其通项公式(数列{f(n)}可求前n项和).当为常数时,通过累加法可求得等差数列的通项公式.而当为等差数列时,则为二阶等差数列,其通项公式应当为形式,注意与等差数列求和公式一般形式的区别,后者是,其常数项一定为0. 2.这类递推数列可通过累乘法而求得其通项公式(数列{g(n)}可求前n项积).当为常数时,用累乘法可求得等比数列的通项公式. 3.; 这类数列通常可转化为,或消去常数转化为二阶递推式. 例1已知数列中,,求的通项公式. 解析:解法一:转化为型递推数列. ∵∴又,故数列{}是首项为2,公比为2的等比数列.∴,即. 解法二:转化为型递推数列. ∵=2xn-1+1(n≥2)  ①  ∴=2xn+1  ② ②-①,得(n≥2),故{}是首项为x2-x1=2,公比为2的等比数列,即,再用累加法得.解法三:用迭代法.当然,此题也可用归纳猜想法求之,但要用数学归纳法证明. 例2 已知函数的反函数为求数列的通项公式. 解析:由已知得,则. 令=,则.比较系数,得. 即有.∴数列{}是以为首项,为公比的等比数列,∴,故.评析:此题亦可采用归纳猜想得出通项公式,而后用数学归纳法证明之.(4)若取倒数,得,令,从而转化为(1)型而求之. (5); 这类数列可变换成,令,则转化为(1)型一阶线性递推公式. 例3 设数列求数列的通项公式. 解析:∵,两边同除以,得.令,则有.于是,得,∴数列是以首项为,公比为的等比数列,故,即,从而. 例4 设求数列的通项公式. 解析:设用代入,可解出. ∴是以公比为-2,首项为的等比数列. ∴,即. (6)这类数列可取对数得,从而转化为等差数列型递推数列.二、可转化为等差、等比数列或一些特殊数列的二阶递推数列例5 设数列求数列的通项公式. 解析:由可得设故即用累加法得或例6 在数列求数列的通项公式.解析:可用换元法将其转化为一阶线性递推数列.令使数列是以为公比的等比数列(待定). 即∴对照已给递推式, 有即的两个实根. 从而∴① 或② 由式①得;由式②得. 消去. 例7 在数列求. 解析:由①,得②. 式②+式①,得,从而有.∴数列是以6为其周期.故==-1.三、特殊的n阶递推数列例8 已知数列满足,求的通项公式. 解析:∵① ∴② ②-①,得.∴故有将这几个式子累乘,得又例9 数列{}满足,求数列{}的同项公式. 解析:由①,得②. 式①-式②,得,或,故有. ∴,. 将上面几个式子累乘,得,即. ∵也满足上式,∴.高中数学常见数列通项公式 累加法递推公式为a(n+1)=an+f(n),且f(n)可以求和例:数列{an},满足a1=1/2,a(n+1)=an+1/(4n^2-1),求{an}通项公式解:a(n+1)=an+1/(4n^2-1)=an+[1/(2n-1)-1/(2n+1)]/2∴an=a1+(1-1/3+1/3-1/5+……+1/(2n-3)-1/(2n-1))∴an=1/2+1/2 (1-1/(2n-1))=(4n-3)/(4n-2)累乘法递推公式为a(n+1)/an=f(n),且f(n)可求积例:数列{an}满足a(n+1)=(n+2)/n an,且a1=4,求an解:an/a1=an/a(n-1)×a(n-1)/a(n-2)×……×a2/a1=2n(n+1)构造法将非等差数列、等比数列,转换成相关的等差等比数列连加相减,连乘相除例:{an}满足a1+2a2+3a3+……+nan=n(n+1)(n+2)解:令bn=a1+2a2+3a3+……+nan=n(n+1)(n+2)nan=bn-b(n-1)=n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)

数学求数列通项方法总结

这样问范围很广泛

但数列求通项公式有一些基本题型

一、由公式:等差数列通项公式an=a1+(n-1)d,确定其中的3个量:n,d,a1可求得

二、由前几项要求推出通项公式:写出n与an,观察之间的关系。如果关系不明显,应该将项作适当变形或分解,让规律突现出来,便于找到通项公式

三、已知前n项和sn,可由an=sn-s(n-1),但要注意Sn-S(n-1)是在n≥2的条件下成立的,若将n=1代入该式所得的值与S1相等,则{an}的通项公式就可用统一的形式来表示,否则就写成分段数列的形式

四、由递推公式求数列通项公式:已知数列的递推公式求通项,可把每相邻两项的关系列出来,抓住它们的特点进行适当处理,有时借助拆分或取倒数等方法构造等差数列或等比数列,转化为等差数列或等比数列的通项问题.建议找些题目补充提问,这样回答才能更具体。

初中数学常用的数学方法

初中数学常用的八种教学方法有讲授法、讨论法、直观演示法、练习法、读书指导法、参观教学法、现场教学法、德尔菲法。1、讲授法。讲授法是教师通过简明,生动的口头语言向学生传授知识,发展学生智力的方法。它是通过叙述、描绘、解释、推论来传递信息、传授知识、阐明概念、论证定律和公式,引导学生分析和认识问题。2、讨论法。讨论法是在教师的指导下,学生以全班或小组为单位,围绕教材的中心问题,各抒己见,通过讨论或辩论活动,获得知识或巩固知识的一种教学方法。优点在于,由于全体学生都参加活动,可以培养合作精神,激发学生的学习兴趣,提高学生学习的独立性。一般在高年级学生或成人教学中采用。3、直观演示法。直观演示法是教师在课堂上通过展示各种实物,直观教具或进行示范性实验,让学生通过观察获得感性认识的教学方法。是一种辅助性教学方法,要和讲授法、谈话法等教学方法结合使用。4、练习法。练习法是学生在教师的指导下项固知识,运里知课服形成技能技巧的方法。在教学中,练习法被各科教学广泛采用。5、读书指导法。读书指导法是教师指导学生通过阅读教科书或参考书,以获得知识,巩固知识,培养学生自学能力的一种方法。6、参观教学法。参观教学法是组织或指导学生到育种试验地进行实地观察,调查,研究和学习,从而获得新知识或巩固已学知识的教学方法。参观教学法一般由校外实训教师指导和讲解,要求学生围绕参观内容收集有关资料,质疑问难,做好记录,参观结束后,整理参观笔记,写出书面参观报告,将感性认识升华为理性知识。7、现场教学法。现场教学法是以现场为中心,以现场实物为对象,以学生活动为主体的教学方法。本课程现场教学在校内外实训基地进行,主要应用于育种试验布局规划、试验设计、作物性状的观察记载方法等项目的教学。8、德尔菲法,也称专家调查法。德尔菲法1946年由美国兰德公司创始实行,其本质上是一种反馈匿名函询法,其大致流程是在对所要预测的问题征得专家的意见之后,进行整理、归纳、统计,再匿名反馈给各专家,再次征求意见,再集中,再反馈,直至得到一致的意见。

数列求通项的七种方法及例题

一、累差法递推式为:an+1=an+f(n)(f(n)可求和)思路::令n=1,2,…,n-1可得a2-a1=f(1)a3-a2=f(2)a4-a3=f(3)……an-an-1=f(n-1)将这个式子累加起来可得an-a1=f(1)+f(2)+…+f(n-1)∵f(n)可求和∴an=a1+f(1)+f(2)+ …+f(n-1)当然我们还要验证当n=1时,a1是否满足上式例1、已知数列{a}中,a1=1,an+1=an+2,求an 令n=1,2,…,n-1可得a2-a1=2a3-a2=22a4-a3=23……an-an-1=2n-1将这个式子累加起来可得an-a1=f(1)+f(2)+…+f(n-1)∵f(n)可求和∴an=a1+f(1)+f(2)+…+f(n-1)当n=1时,a1适合上式故an=2n-1

二、累商法递推式为:an+1=f(n)an(f(n)要可求积)思路:令n=1,2, …,n-1可得a2/a1=f(1)a3/a2=f(2)a4/a3=f(3)……an/an-1=f(n-1)将这个式子相乘可得an/a1=f(1)f(2) …f(n-1)∵f(n)可求积∴an=a1f(1)f(2) …f(n-1)当然我们还要验证当n=1时,a1是否适合上式例2、在数列{an}中,a1=2,an+1=(n+1)an/n,求an 令n=1,2, …,n-1可得a2/a1=f(1)a3/a2=f(2)a4/a3=f(3)……an/an-1=f(n-1)将这个式子相乘后可得an/a1=2/1×3/24×/3×…×n/(n-1)即an=2n当n=1时,an也适合上式∴an=2n

三,构造法1、递推关系式为an+1=pan+q (p,q为常数)思路:设递推式可化为an+1+x=p(an+x),得an+1=pan+(p-1)x,解得x=q/(p-1)故可将递推式化为an+1+x=p(an+x)构造数列{bn},bn=an+q/(p-1)bn+1=pbn即bn+1/bn=p,{bn}为等比数列.故可求出bn=f(n)再将bn=an+q/(p-1)代入即可得an例3、(06重庆)数列{an}中,对于n>1(n?N)有an=2an-1+3,求an设递推式可化为an+x=2(an-1+x),得an=2an-1+x,解得x=3故可将递推式化为an+3=2(an-1+3)构造数列{bn},bn=an+3bn=2bn-1即bn/bn-1=2,{bn}为等比数列且公比为3bn=bn-1·3,bn=an+3bn=4×3n-1an+3=4×3n-1,an=4×3n-1-12、递推式为an+1=pan+qn(p,q为常数)思路:在an+1=pan+qn两边同时除以qn+1得an+1/qn+1=p/qan/qn+i/q构造数列{bn},bn=an/qn可得bn+1=p/qbn+1/q故可利用上类型的解法得到bn=f(n)再将代入上式即可得an例4、数列{an}中,a1+5/6,an+1=(1/3)an+(1/2)n,求an 在an+1=(1/3)an+(1/2)n两边同时除以(1/2)n+1得2n+1an+1=(2/3)×2nan+1构造数列{bn},bn=2nan可得bn+1=(2/3)bn+1故可利用上类型解法解得bn=3-2×(2/3)n2nan=3-2×(2/3)nan=3×(1/2)n-2×(1/3)n3、递推式为:an+2=pan+1+qan(p,q为常数)思路:设an+2=pan+1+qan变形为an+2-xan+1=y(an+1-xan)也就是an+2=(x+y)an+1-(xy)an,则可得到x+y=p,xy= -q解得x,y,于是{bn}就是公比为y的等比数列(其中bn=an+1-xan)这样就转化为前面讲过的类型了.例5、已知数列{an}中,a1=1,a2=2,an+2=(2/3)·an+1+(1/3)·an,求an设an+2=(2/3)an+1+(1/3)an可以变形为an+2-xan+1=y(an+1-xan)也就是an+2=(x+y)an+1-(xy)an,则可得到x+y=2/3,xy= -1/3可取x=1,y= -1/3构造数列{bn},bn=an+1-an故数列{bn}是公比为-1/3的等比数列即bn=b1(-1/3)n-1b1=a2-a1=2-1=1bn=(-1/3)n-1an+1-an=(-1/3)n-1故我们可以利用上一类型的解法求得an=1+3/4×[1-(-1/3)n-1](n?N*)

四、利用sn和n、an的关系求an1、利用sn和n的关系求an思路:当n=1时,an=sn当n≥2 时, an=sn-sn-1例6、已知数列前项和s=n2+1,求{an}的通项公式.当n=1时,an=sn=2当n≥2 时, an=sn-sn-1=n+1-[(n-1)2+1]=2n-1而n=1时,a1=2不适合上式∴当n=1时,an=2当n≥2 时, an=2n-12、利用sn和an的关系求an思路:利用an=sn-sn-1可以得到递推关系式,这样我们就可以利用前面讲过的方法求解例7、在数列{an}中,已知sn=3+2an,求an即an=sn-sn-1=3+2an-(3+2an-1)an=2an-1∴{an}是以2为公比的等比数列∴an=a1·2n-1= -3×2n-1五、用不完全归纳法猜想,用数学归纳法证明.思路:由已知条件先求出数列前几项,由此归纳猜想出an,再用数学归纳法证明例8、(2002全国高考)已知数列{an}中,an+1=a2n-nan+1,a1=2,求an由已知可a1=2,a2=3,a3=4,a4=5,a5=6由此猜想an=n+1,下用数学归纳法证明:当n=1时,左边=2,右边=2,左边=右边即当n=1时命题成立假设当n=k时,命题成立,即ak=k+1则 ak+1=a2k-kak+1=(k+1)2-k(k+1)+1=k2+2k+1-k2-2k+1=k+2=(k+1)+1∴当n=k+1时,命题也成立.综合(1),(2),对于任意正整数有an=n+1成立即an=n+1

高中数学数列大题50题

1、

S5=5a1+10d=35

则:a1+2d=7

a1,a4,a13成等比,

则a4=a1*a13

即:(a1+3d)=a1(a1+12d)a1+6da1+9d=a1+12da19d=6da1

因为d不为0,所以:3d=2a1,则a1=3d/2

代入a1+2d=7,得:7d/2=7,则d=2,a1=3d/2=3

所以an=a1+(n-1)d=2n+1

2、bn=a(2n-1)=2(2n-1)+1=4n-1Tn=(b1+bn)n/2=2n+n2n+n≦n+302n≦30n≦15

因为n是整数,所以n的最大值为3祝你开心!希望能帮到你,如果不懂,请Hi我,祝学习进步!

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